Nevienādības pierādīšana ar matemātisko indukciju — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Piemērs:

Pierādīt, ka

2^{n} > n^{2}; n \geq 5

Apzīmē doto apgalvojumu ar \(A(n)\).

1) Indukcijas bāze. Pierāda, ka izpildās \(A(5)\).

Ja \(n=5\), tad

\begin{array}{l} 2^{5} > 5^{2} \\ 32 > 25 \end{array}

2) Induktīvais pieņēmums.

Pieņemsim, ka apgalvojums \(A(k)\) - patiess, t.i., pieņemsim, ka

2^{k} > k^{2}

3) Induktīvā pāreja.

Pārbaudīsim, vai patiess \(A(k+1)\), t.i., pārbaudīsim, vai

2^{k + 1} > {(k + 1)}^{2}

\begin{array}{l} 2^{k + 1} > {(k + 1)}^{2} \\ 2^{k} \cdot 2 > k^{2} + 2 k + 1 \\ \underline{\underline{2^{k}}} + 2^{k} > \underline{\underline{k^{2}}} + 2 k + 1 \end{array}

Pēc induktīvā pieņēmuma par \(A(k)\) patiesumu,

2^{k} > k^{2}

Induktīvā pāreja būs pierādīta, ja pratīsim pierādīt, ka

2^{k} > 2 k + 1; k \geq 5

Faktu, ka

2^{k} > 2 k + 1; k \geq 5

var pierādīt ar matemātisko indukciju. Ievēro, ka vienā piemērā matemātiskās indukcijas metodi var lietot vairākas reizes.

Pierādījums II.

Indukcijas bāze. Ja \(k=5\), tad

\begin{array}{l} 2^{5} > 2 \cdot 5 + 1 \\ 32 > 11 \end{array}

Induktīvais pieņēmums.

Pieņemsim, ka apgalvojums \(A(t)\) - patiess, t.i., pieņemsim, ka

2^{t} > 2 t + 1; t \geq 5

Induktīvā pāreja.

Pārbaudīsim, vai patiess \(A(t+1)\), t.i., pārbaudīsim vai

2^{t + 1} > 2 (t + 1) + 1; t \geq 5

\begin{array}{l} 2^{t + 1} > 2 (t + 1) + 1 \\ 2^{t} \cdot 2 > 2 t + 2 + 1 \\ \underline{\underline{2^{t}}} + 2^{t} > \underline{\underline{(2 t + 1)}} + 2 \end{array}

Pēc pieņēmuma

2^{t} > 2 t + 1; t \geq 5

, redzam, ka arī

2^{t} > 2; t \geq 5

Fakts, ka

2^{k} > 2 k + 1; k \geq 5

ir pierādīts.

Atgriežoties pie iesāktā pierādījuma, redzam, ka apgalvojums

2^{k + 1} > {(k + 1)}^{2}

ir patiess.

Secinājums

Pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.

Mēģini pierādīt patstāvīgi nevienādību:

2^{n} > n (n + 4); n \geq 6

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Atradi kļūdu?

12. Nevienādības pierādīšana ar matemātisko indukciju