Ar MIP pierāda nevienādību ar pakāpi — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Pierādi, ka jebkuram naturālam \(n\) ir spēkā apgalvojums

20^{n} \geq 1 + 19 n

Papildini pierādījumu ar skaitļiem vai/un burtiem!

Apgalvojumu apzīmē ar \(A(n)\).
1) Indukcijas bāze. Pārbaudām, vai ir patiess apgalvojums \(A(1)\). Ja \(n=1\), tad

\begin{array}{l} i^{1} \geq 1 + 19 \cdot 1 \\ i \geq i \end{array}

ir patiess, izpildās vienādība.

2) Induktīvais pieņēmums (hipotēze). Pieņemam, ka \(A(k)\) ir patiess. Ja \(n=k\)

20^{k} \geq 1 + 19 k

3) Induktīvā pāreja. Pierādām, ka patiess ir arī apgalvojums \(A(k+1)\).

Jāpierāda, ka

20^{k + 1} \geq i + 19 k

Aplūkojam induktīvo pieņēmumu.

Lai iegūtu kāpinātāju \((k+1)\) abas par pareizu pieņemtās nevienādības

20^{k} \geq 1 + 19 k

puses sareizinām ar

20

Iegūstam

\begin{array}{l} ... \\ 20^{k + 1} \geq i + 20 \cdot 19 k \\ ... \\ 20^{k + 1} \geq \underline{i + 19 k} + i^{2} k \end{array}

Salīdzinām pēdējās nevienādības labo pusi ar to, kas ir jāpierāda, redzam, ka izpildās stingrā nevienādība:

\underline{i + 19 k} + i^{2} k > \underline{i + 19 k}

, jebkuram naturālam \(k\).

Tātad

20^{k + 1} \geq \underline{i + 19 k} + i^{2} k > \underline{i + 19 k}

jeb

20^{k + 1} \geq i

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.

Esam pierādījuši, ka

20^{n} \geq 1 + 19 n

ir spēkā visām naturālām \(n\) vērtībām.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Энциклопедия для детей, Mатематика. Москва:Аванта+, 2005, izm. 567.lpp

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

17. Ar MIP pierāda nevienādību ar pakāpi