Ar MIP pierāda nevienādību ar pakāpi — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pierādi, ka jebkuram naturālam \(n\) ir spēkā apgalvojums

20^{n} \geq 1 + 19 n

Papildini pierādījumu ar skaitļiem vai/un burtiem!

Apgalvojumu apzīmē ar \(A(n)\).
1) Indukcijas bāze. Pārbaudām, vai ir patiess apgalvojums \(A(1)\). Ja \(n=1\), tad

\begin{array}{l} i^{1} \geq 1 + 19 \cdot 1 \\ i \geq i \end{array}

ir patiess, izpildās vienādība.

2) Induktīvais pieņēmums (hipotēze). Pieņemam, ka \(A(k)\) ir patiess. Ja \(n=k\)

20^{k} \geq 1 + 19 k

3) Induktīvā pāreja. Pierādām, ka patiess ir arī apgalvojums \(A(k+1)\).

Jāpierāda, ka

20^{k + 1} \geq i + 19 k

Aplūkojam induktīvo pieņēmumu.

Lai iegūtu kāpinātāju \((k+1)\) abas par pareizu pieņemtās nevienādības

20^{k} \geq 1 + 19 k

puses sareizinām ar

20

Iegūstam

\begin{array}{l} ... \\ 20^{k + 1} \geq i + 20 \cdot 19 k \\ ... \\ 20^{k + 1} \geq \underline{i + 19 k} + i^{2} k \end{array}

Salīdzinām pēdējās nevienādības labo pusi ar to, kas ir jāpierāda, redzam, ka izpildās stingrā nevienādība:

\underline{i + 19 k} + i^{2} k > \underline{i + 19 k}

, jebkuram naturālam \(k\).

Tātad

20^{k + 1} \geq \underline{i + 19 k} + i^{2} k > \underline{i + 19 k}

jeb

20^{k + 1} \geq i

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.

Esam pierādījuši, ka

20^{n} \geq 1 + 19 n

ir spēkā visām naturālām \(n\) vērtībām.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Энциклопедия для детей, Mатематика. Москва:Аванта+, 2005, izm. 567.lpp

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

17. Ar MIP pierāda nevienādību ar pakāpi