Ar MIP pierāda bezgalīgas kubu summas formulu — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pierādi, ka katram naturālam \(n\) izpildās apgalvojums

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} ... + n^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}

Papildini pierādījumu ar skaitļiem un/vai burtiem!

Apzīmē doto apgalvojumu ar \(A(n)\).

1) Indukcijas bāze. Pārbaudām, vai izpildās \(A(1)\).

Ja \(n=1\), tad

1^{3} = \frac{i^{2} \cdot 2^{2}}{4}

. Redzams, ka vienādība ir patiesa

1 = 1

2) Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

1^{3} + 2^{3} + 3^{3} ... + k^{3} = \frac{k^{2} {(k + 1)}^{2}}{4}

3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1)\):

Jāpierāda, ka

1^{3} + 2^{3} + ... + k^{3} + {(k + i)}^{3} = \frac{{(i + 1)}^{2} {(k + i)}^{2}}{4}

Pēc induktīvā pieņēmuma:

\frac{i^{2} {(k + 1)}^{i}}{i} + {(i + 1)}^{3} \overset{?}{=}

\frac{{(i + 1)}^{2} {(k + i)}^{2}}{4}

Ja abas vienādības puses pareizina ar skaitli un izdala ar

{(k + i)}^{2}

, mums atliek pārliecināties, ka izpildās sekojoša vienādība:

i^{2} + 4 (i + 1) \overset{?}{=} {(k + i)}^{2}

Vienkāršojot izteiksmi, secinām, ka vienādība ir patiesa, jo

k^{i} + i = k^{i} + i

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Redzam, ka no izteikuma \(A(k)\) patiesuma seko \(A(k+1)\) patiesums.

Esam pierādījuši \(A(n)\) patiesumu visām \(n\) vērtībām.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

16. Ar MIP pierāda bezgalīgas kubu summas formulu