13. MIP ģeometrijā. Interesants uzdevums par perimetru

Par ārējo daudzstūri nosauksim to daudzstūri, kurš pārklāj otru daudzstūri, bet to, kuru pārklāj – par iekšējo daudzstūri.

 

Nosauksim par brīvu malu tādu iekšējā daudzstūra malu, kura neatrodas uz ārējā daudzstūra malas.

Par indukcijas parametru pieņemsim brīvo malu skaitu plus viena (jo brīvās malas var arī nebūt, bet indukcijas parametrs ir naturāls skaitlis).

 

Precizēsim apgalvojumu \(A(n)\).

1) Indukcijas bāze. Pārbauda, vai ir patiess apgalvojums \(A(1)\).
Ja \(n=1\), tad brīvo malu nav vispār un tad apgalvojuma patiesums ir acīmredzams (izpildās perimetru vienādība)

 

2) Induktīvais pieņēmums (hipotēze). Pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess.

Pieņemsim, ka apgalvojums ir spēkā visiem gadījumiem, kad ir \(k\) brīvas malas.

 

3) Induktīvā pāreja. Pierāda, ka patiess ir arī apgalvojums \(A(k+1)\).

Pierādīsim, ka apgalvojums ir spēkā, ja ir \(k+1\) brīva mala.

 

\(R\) – iekšējais daudzstūris, \(T\) – ārējais daudzstūris. Pavisam ir \(k+1\) brīvas malas.

Jāpierāda, ka $P(R)\le P\left(T\right)$, kur \(P(R)\) un \(P(T)\) ir daudzstūru \(R\) un \(T\) perimetri.

 

 

Izvēlēsimies iekšējā daudzstūra \(R\) malu \(AB\) un pagarināsim to līdz krustpunktam ar ārējā daudzstūra \(T\) malām.

 

 

Iegūstam daudzstūri \(S\) (zīmējumā rozā krāsā). Daudzstūris \(R\) atrodas daudzstūrī \(S\), savukārt daudzstūris \(S\) atrodas daudzstūrī \(T\).

 

 

Pēc zīmējuma var redzēt, ka $P\left(i\right)<P(T)$, jo nogrieznis  ir īsāks par lauztu līniju ar galapunktiem \(A\) un \(B\).

 

Šajā pārī brīvo malu skaits ir par \(1\) mazāks nekā pārī \(R\) un \(T\), tātad, atsaucoties uz induktīvo pāreju, ir tieši  brīvo malu, jo \(AB\) vairs nav daudzstūra \(R\) brīvā mala. Tātad pēc induktīvā pieņēmuma $P(R)\le P\left(i\right)$.

 

Pievienojot nevienādību $P\left(i\right)<P(T)$, ko ieguvām iepriekš, iegūstam $P(i)\le P(i)<P(i)$.

 

Varam secināt, ka $P(i)\le P\left(i\right)$.