Dalīšanās pierādīšana ar MIP. 1. veids — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Aplūkosim MIP pielietojumu apgalvojumā par dalīšanos.

Piemērs:

Pierādi, ka katram naturālam skaitlim $n$ izteiksme

8^{n} - 1

dalās ar $7$.

Apgalvojums $A(n)$ - izteiksme

8^{n} - 1

dalās ar $7$ jebkuram naturālam $n$.

1) Indukcijas bāze.

Izteikums $A(1)$ ir patiess, jo $8-1=7$, kas dalās ar $7$.

2) Induktīvais pieņēmums.

Pieņem, ka brīvi izvēlētam naturālam skaitlim $k$ izteikums $A(k)$ ir patiess, t.i.,

8^{k} - 1

dalās ar $7$.

3) Induktīvā pāreja.

Pierādīsim, ka patiess ir izteikums $A(k+1)$, t.i.,

8^{k + 1} - 1

dalās ar $7$.

Izmanto pakāpju īpašību

a^{n + m} = a^{n} \cdot a^{m}

8^{k + 1} - 1 = 8^{k} \cdot 8^{1} - 1 = 8 {\cdot 8}^{k} - 1

Svarīgi!
Ievēro, ka $8 \cdot 8^{k} = (7 + 1) \cdot 8^{k} = 7 \cdot 8^{k} + 8^{k}$ .

Tātad

8 \cdot 8^{k} - 1 = \underline{7 \cdot 8^{k}} + \underline{\underline{8^{k} - 1}}

Pārbaudām, vai iegūtā izteiksme dalās ar $7$:

Tātad summa

7 \cdot 8^{k} + 8^{k} - 1

dalās ar $7$.

Secinājums.

Redzam, ka no izteikuma $A(k)$ patiesuma seko $A(k+1)$ patiesums.

Esam pierādījuši $A(n)$ patiesumu visām $n$ vērtībām.

Vingrinies šeit.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Atradi kļūdu?

5. Dalīšanās pierādīšana ar MIP. 1. veids