Matemātiskās indukcijas metode jeb matemātiskās indukcijas princips
ir viens no biežāk lietotajiem un svarīgākajiem pierādījumu veidiem. Tas parasti tiek izmantots, lai
pierādītu, ka kāds izteikums ir patiess visām naturālām \(n\) vērtībām.
Šajā tematā vispārīgus apgalvojumus apzīmēsim ar lielajiem latīņu burtiem (\(A, B, C\) utt.), aiz tiem iekavās norādīsim apgalvojuma vai uzdevuma parametrus.
Piemēram, uzdevumu "atrast, cik veidos naturālu skaitli \(n\) var izteikt ar vieninieku un divnieku summu", var apzīmēt ar \(A(n). \)
Ja apgalvojumu aplūko pie konkrētas \(n\) vērtības, tad to norāda iekavās. Piemēram, ja \(n=1\), tad raksta \(A(1).\)
Matemātiskās indukcijas princips (MIP)
Ja
1) apgalvojums \(A(1)\) ir patiess,
2) katram naturālam \(k\) no tā, ka patiess ir apgalvojums \(A(k)\), izriet apgalvojuma \(A(k+1)\) patiesums,
tad
apgalvojums \(A(n)\) ir patiess visiem naturāliem skaitļiem \(n\).
1) apgalvojums \(A(1)\) ir patiess,
2) katram naturālam \(k\) no tā, ka patiess ir apgalvojums \(A(k)\), izriet apgalvojuma \(A(k+1)\) patiesums,
tad
apgalvojums \(A(n)\) ir patiess visiem naturāliem skaitļiem \(n\).
Izmantojot MIP, pierādījumu, ka \(A(n)\) ir patiess, veic pēc sekojoša algoritma.
1) Indukcijas bāze. Pārbauda, vai ir patiess apgalvojums \(A(1).\)
2) Induktīvais pieņēmums (hipotēze). Pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess.
3) Induktīvā pāreja. Pierāda, ka patiess ir arī apgalvojums \(A(k+1).\)
4) Secinājums: secina, ka \(A(n)\) ir patiess visām naturālām \(n\) vērtībām.
Indukcija (no latīņu valodas “inductio” (uzvedināšana, ierosināšana) – loģisks slēdziens, pārejot no
atsevišķiem gadījumiem uz vispārīgu secinājumu, no atsevišķiem faktiem uz vispārinājumu.
Induktīvā spriešana, kā jau zinām, ir spriešanas paņēmiens, kurā secinājumi tiek iegūti, balstoties uz vairāku eksperimentu
vai vērojumu laikā gūtiem rezultātiem.
Matemātiskās indukcijas metode ir viena no aritmētikas aksiomām, tāpēc tās patiesums nav jāpierāda. Pēc
būtības indukcijas aksioma apgalvo, ka katru naturālo skaitli var iegūt, atkārtoti pieskaitot skaitlim \(0\)
vieninieku.
Matemātisko indukciju var ilustrēt sekojoši – iedomāsimies, ka rindā ir salikti bezgalīgi daudzi domino
kauliņi. Ja krīt pirmais kauliņš, tad nokrīt arī otrais, tas savukārt nogāž nākamo. Šim procesam turpinoties,
visi kauliņi tiek nogāzti.
MIP var ilustrēt ģeometriski.
Apgalvojumu \(A(n)\) var attēlot ar rūtiņu rindu:
Ja \(A(1)\) ir patiess, var aizkrāsot pirmo rūtiņu:
(indukcijas bāze)Bet nosacījums \(2)\) - \(3)\) ģeometriski nozīmē šādu pāreju:
(induktīvā pāreja)Iegūst lenti, kurā aizkrāsotas pirmās divas rūtiņas:
Atkārtojot vēlreiz šādu pāreju – aizstājot rūtiņu kombināciju 
ar 
, iegūstam lenti, kurā aizkrāsotas pirmās trīs rūtiņas: 
.
ar , iegūstam lenti, kurā aizkrāsotas pirmās trīs rūtiņas: . Līdzīgi turpinot, pakāpeniski aizkrāsojas visa bezgalīgā lenta, t.i., ir pierādīts vispārīgais apgalvojums \(A(n)\): 
(secinājums).
(secinājums).Vidusskolā matemātiskās indukcijas metodi visbiežāk lieto:
- vienādību un nevienādību pierādīšanā;
- dalāmības pierādīšanā;
- rekurentas virknes vispārīgā locekļa formulas pierādīšanā.
- ģeometrijas formulu un sakarību pierādīšanā.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja
http://www.lanet.lv/info/matind/mim-03.htm