Ņūtona binoms un tā izvirzījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

No pamatskolas zināma summas kvadrāta formula

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

No 10.klases zināma summas kuba formula

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Šīs formulas viegli iegūt, atverot iekavas.

Tomēr, jo kāpinātājs kļūst lielāks, iekavas ir vairāk un reizināšanas process var aizņemt daudz laika. Piemēram,

{(a + b)}^{4} = (a + b) (a + b) (a + b) (a + b)

Pastāv likumsakarība, kā, atkarībā no kāpinātāja, mainās izvirzījuma locekļu skaits un atbilstoši tam tiek aprēķināti arī paši locekļi.

Izvirzījuma koeficientus var paņemt no *Paskāla trijstūra.

				$1$
			$1$	$↘ ↙$	$1$
		$1$	$↘ ↙$	$2$	$↘ ↙$	$1$
	$1$	$↘ ↙$	$3$	$↘ ↙$	$3$	$↘ ↙$	$1$
$1$		$4$		$6$		$4$		$1$

Aplūko, kā veidojas binoma pakāpju izvirzījumi.

Ievēro, ka $a$ kāpinātājs katrā no nākošiem saskaitāmiem kļūst par $1$ mazāks, bet $b$ kāpinātājs par $1$ pieaug.

Zinām, ka Paskāla trijstūrī katram skaitlim atbilst kombinācija.

				$C_{0}^{0}$
			$C_{1}^{0}$		$C_{1}^{1}$
		$C_{2}^{0}$		$C_{2}^{1}$		$C_{2}^{2}$
	$C_{3}^{0}$		$C_{3}^{1}$		$C_{3}^{2}$		$C_{3}^{3}$
$C_{4}^{0}$		$C_{4}^{1}$		$C_{4}^{2}$		$C_{4}^{3}$		$C_{4}^{4}$

Ievēro, ka

C_{0}^{0} = 1; C_{n}^{n} = 1; C_{n}^{1} = n

Vispārinot binoma formulu jebkuram naturālam kāpinātājam $n$, iegūst Ņūtona binoma formulu.

Binoma

{(a + b)}^{n}

izvirzījuma koeficienti sakrīt ar Paskāla trijstūra $n$-to rindiņu jebkurai $n$ vērtībai.

Ievēro - Paskāla trijstūrī rindiņas numurē, sākot ar $0$-to rindiņu.

Par Ņūtona binoma formulu sauc

\begin{array}{l} {(a + b)}^{n} = \\ = C_{n}^{0} a^{n} b^{0} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b^{1} + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + ... + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + ... + C_{n}^{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + C_{n}^{n} a^{0} b^{n} \end{array}

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

$ =$

\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{k} b^{n - k}

Formulas labo pusi sauc par pakāpes izvirzījumu.

C_{n}^{k}

sauc par binominālajiem koeficientiem.

Tātad

$\begin{array}{l} {(a + b)}^{0} = 1 \\ {(a + b)}^{1} = 1 \cdot a + 1 \cdot b \\ {(a + b)}^{2} = 1 a^{2} + 2 ab + 1 b^{2} \\ {(a + b)}^{3} = 1 a^{3} + 3 a^{2} b + 3 {ab}^{2} + 1 b^{3} \\ {(a + b)}^{4} = 1 a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 {ab}^{3} + 1 b^{4} \\ ... \end{array}$

Aplūkosim piemēru, kā rīkojas, ja kāpina nevis summu, bet starpību.

Piemērs:

Uzraksti binoma izvirzījumu!