Ņūtona binoma n-tā locekļa aprēķināšana — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Ņūtona binoma

{(a + b)}^{n}

izvirzījumu var pierakstīt kā summu

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

kur

C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

- \(k\)-tais virknes loceklis, \(k=0; 1; 2; …; n.\)

Ievēro! Ņūtona izvirzījuma locekļu numerāciju sāk no nulles.

Taču \(k\) -tais loceklis nav \(k\) - tais saskaitāmais, jo saskaitāmos numurē tā, kā ikdienā pieraksts skaitīt objektus: \(1., 2., 3., …\)

C_{n}^{0} a^{n} b^{0}

ir nulltais loceklis, bet pirmais saskaitāmais.

C_{n}^{1} a^{n - 1} b^{1}

- pirmais loceklis, bet otrais saskaitāmais.

C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

- \(k\)-tais loceklis, bet \(k+1\) - mais saskaitāmais.

Tātad, ja uzdevumā jautāts \(k\)-tais loceklis, tad izmanto sakarību

L_{k} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

Savukārt, ja jāaprēķina \(k\)-tais saskaitāmais, tad iepriekšējā sakarībā \(k\) vietā ievieto \(k-1\).

S_{k} = C_{n}^{k - 1} a^{n - (k - 1)} b^{k - 1}

Aplūkosim piemēru.

Piemērs:

Dots Ņūtona binoms

{(2 + x)}^{6}

. Nosaki

a) izvirzījuma \(4.\) locekli;

b) izvirzījuma \(4.\) saskaitāmo.

Risinājums

a) Izmanto sakarību

C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

, kur \(n=6\) un \(k=4\)

C_{6}^{4} 2^{6 - 4} x^{4} = 15 \cdot 2^{2} \cdot x^{4} = 60 x^{4}

b) Izmanto sakarību

C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

, kur \(n=6\) un skaitlis, ko ievieto \(k\) vietā ir \(k-1=3\)

\(4.\) saskaitāmais ir \(3\). loceklis (locekļu numerācija: 0., 1., 2., 3.)

C_{6}^{3} 2^{6 - 3} x^{3} = 20 \cdot 2^{3} \cdot x^{3} = 160 x^{3}

Atbilde: Dotā binoma izvirzījuma \(4.\) loceklis ir

60 x^{4}

. Dotā binoma izvirzījuma \(4.\) saskaitāmais ir

160 x^{3}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

4. Ņūtona binoma n-tā locekļa aprēķināšana