Divnieka pakāpes Paskāla trijstūrī — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Izmantojot Ņūtona binomu, var pierādīt sakarību:

C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n}

, kur $n$ ir vesels nenegatīvs skaitlis $(0; 1; 2; 3; 4;...).$

Var arī teikt, ka galīgas kopas visu iespējamo apakškopu skaits ir

2^{n}

, ja kopas elementu skaits ir $n$. Piemērs.

Pierādi, ka $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n}$ .

Pierādījums

Izvēlas Ņūtona binoma formulu:

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

jeb

\begin{array}{l} {(a + b)}^{n} = \\ {= C}_{n}^{0} a^{n} b^{0} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b^{1} + . .. + C_{n}^{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + C_{n}^{n} a^{0} b^{n} \end{array}

Ievietojam $a=1$ un $b=1$

\begin{array}{l} {2^{n} = (1 + 1)}^{n} = \\ {= C}_{n}^{0} 1^{n} \cdot 1^{0} + C_{n}^{1} 1^{n - 1} \cdot 1^{1} + . .. + C_{n}^{n - 1} 1^{1} \cdot 1^{n - 1} + C_{n}^{n} 1^{0} \cdot 1^{n} = \\ = C_{n}^{0} \cdot 1 + C_{n}^{1} \cdot 1 + ... + C_{n}^{n - 1} \cdot 1 + C_{n}^{n} \cdot 1 = \\ = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} \end{array}

Tātad

C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n}

. k.b.j.

Piemērs:

Izmantojot Ņūtona binoma izvirzījumu, aprēķini, cik ir

C_{8}^{0} + C_{8}^{1} + ... + C_{8}^{7} + C_{8}^{8}

jeb cik ir iespējamo apakškopu skaits kopai, kas sastāv no 8 elementiem.

Risinājums

C_{8}^{0} + C_{8}^{1} + ... + C_{8}^{7} + C_{8}^{8} = {(1 + 1)}^{8} = 2^{8} = 256

Atbilde: Apakškopu skaits ir 256.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

5. Divnieka pakāpes Paskāla trijstūrī