Logaritmiskā funkcija un tās īpašības — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Funkciju

y = \log_{a} x

, kur

a > 0, a \neq 1

, sauc par logaritmisko funkciju.

Definīcijas apgabals

D (y) = (0; + \infty)

(tikai pozitīvi skaitļi).

Vērtību apgabals

E (y) = ℝ

(visi reālie skaitļi).

Lai konstruētu funkcijas

y = \log_{a} x

grafiku, sastāda vērtību tabulu, par argumenta vērtībām izvēloties gan daļas, gan veselus skaitļus.

Piemērs:

1. Konstruē grafiku funkcijai

y = \log_{2} x

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4
$y$	−2	−1	0	1	2

\begin{array}{l} \log_{2} (\frac{1}{2}) = - 1, jo 2^{- 1} = \frac{1}{2} \\ \log_{2} 1 = 0, jo 2^{0} = 1 \\ \log_{2} 2 = 1, jo 2^{1} = 2 \end{array}

Ievēro!

\begin{array}{l} \lim_{x \to + 0} \log_{2} x = - \infty \\ \lim_{x \to + \infty} \log_{2} x = + \infty \end{array}

Piemērs:

2. Konstruē grafiku funkcijai

y = \log_{\frac{1}{2}} x

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4
$y$	2	1	0	−1	−2

\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} 2 = - 1, jo {(\frac{1}{2})}^{- 1} = 2 \\ \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4}) = 2, jo {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4} \end{array}

\begin{array}{l} \lim_{x \to + 0} \log_{2} x = + \infty \\ \lim_{x \to + \infty} \log_{2} x = - \infty \end{array}

Logaritmiskā funkcija krusto

Ox

asi punktā

(1; 0)

, bet nekrusto

Oy

asi.

Svarīgi!

Funkcijas monotonitāte ir atkarīga no parametra

a

vērtības:

a > 1

, funkcija aug (skat. 1. piemēru)
ja

0 < a < 1

, tad funkcija dilst (skat. 2. piemēru)

Logaritmiskā funkcija nav periodiska, nav ne pāra, ne nepāra funkcija.

Logaritmiskā funkcija un eksponentfunkcija ir savstarpēji inversas funkcijas, to grafiki ir simetriski pret taisni

y = x

Piemērs:

Salīdzini funkciju

y = 2^{x}

y = \log_{2} x

grafikus!

Funkciju

y = 2^{x}

y = \log_{2} x

grafiki ir simetriski pret taisni

y = x

Abas funkcijas ir augošas.

y = 2^{x}

vērtību apgabals ir vienāds ar

y = \log_{2} x

definīcijas apgabalu:

(0; + \infty)

y = 2^{x}

definīcijas apgabals ir vienāds ar

y = \log_{2} x

vērtību apgabalu: tas ir

ℝ

(visi reālie skaitļi).

Atradi kļūdu?

7. Logaritmiskā funkcija un tās īpašības