Logaritma īpašības — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Logaritma pamatidentitāte:

a^{\log_{a} b} = b (a > 0; a \neq 1; b > 0)

Pamatidentitātes pierādījums

Apzīmē

\log_{a} b = n

. Pēc logaritma definīcijas

a^{n} = b

Kāpinātāju \(n\) aizvieto ar apzīmēto, iegūst

a^{\log_{a} b} = b

Logaritma īpašības

1) Skaitļa 1 logaritms pie jebkuras bāzes ir 0:

\log_{a} 1 = 0

, jo

a^{0} = 1

2) Ja logaritmējamais skaitlis ir vienāds ar logaritma bāzi, tad logaritma vērtība ir skaitlis 1:

\log_{a} a = 1

, jo

a^{1} = a

3) Divu pozitīvu skaitļu

x

y

reizinājuma logaritms ir vienāds ar šo skaitļu logaritmu summu:

\log_{a} (x \cdot y) = \log_{a} x + \log_{a} y

Pierādījums.

Pēc logaritma pamatidentitātes, \(x\) un \(y\) var izteikt kā pakāpes ar bāzi \(a\):

x = {a^{\log_{a}}}^{x}; y = {a^{\log_{a}}}^{y}

Uzrakstām reizinājumu (1) :

x \cdot y = {a^{\log_{a}}}^{x} \cdot {a^{\log_{a}}}^{y} = {a^{\log_{a}}}^{x + \log_{a} y}

, pēc pakāpju īpašības

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Pēc logaritma pamatidentitātes \(x\) un \(y\) reizinājumu var uzrakstīt arī sekojoši:

x \cdot y = a^{\log_{a} (x \cdot y)}

- izteiksme (2).

Tā kā vienādībās (1) un (2) kreisās puses ir vienādas, tad arī labajām pusēm jābūt vienādām:

a^{\log_{a} x + \log_{a} y} = a^{\log_{a} (x \cdot y)}

Pakāpes ar vienādām bāzēm ir vienādas, ja to kāpinātāji ir vienādi. Tātad

\log_{a} x + \log_{a} y = \log_{a} (x \cdot y)

Tas bija jāpierāda.

4) Divu pozitīvu skaitļu dalījuma logaritms ir vienāds ar dalāmā un dalītāja logaritmu starpību:

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Pamēģini pierādīt pēc 3) parauga!

5) Pozitīva skaitļa pakāpes logaritms ir vienāds ar kāpinātāja reizinājumu ar skaitļa logaritmu:

\log_{a} x^{k} = k \cdot \log_{a} x

Svarīgi!

No 2) un no 5) īpašības izriet, ka jebkuru skaitli var uzrakstīt kā logaritmu:

m = \log_{a} a^{m}

, kur

a > 0

a \neq 1

\log_{a^{k}} x = \frac{1}{k} \cdot \log_{a} x

7) Logaritmu no jebkuras bāzes var pārveidot uz citu bāzi, izmantojot formulu:

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

, ja

a > 0, b > 0, a \neq 1

Ievēro - \(c\) ir jebkurš skaitlis, kurš apmierina nosacījumus

c > 0, c \neq 1

Secinājums: bāzi un zemlogaritma izteiksmi var mainīt vietām, izmantojot sakarību:

\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}

, ja

b \neq 1

7. īpašības pierādījums.

Pēc pamatidentitātes

b = a^{\log_{a} b}

. Abas vienādības puses logaritmē pie bāzes \(c\):

\log_{c} b = \log_{c} a^{\log_{a} b}

Izmantojot pakāpes logaritma īpašību

\log_{c} a^{k} = k \cdot \log_{c} a

, kāpinātāju var uzrakstīt pirms logaritma:

\log_{c} b = \log_{a} b \cdot \log_{c} a

jeb

\log_{a} b \cdot \log_{c} a = \log_{c} b

Abas vienādības puses izdala ar

\log_{c} a (\log_{c} a \neq 0 jeb a \neq 1)

\begin{array}{l} \log_{a} b \cdot \log_{c} a = \log_{c} b | : \log_{c} a \\ \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} \end{array}

Atradi kļūdu?

6. Logaritma īpašības