Matemātika II - jauna mācību tēma
"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"
Logaritma pamatidentitāte: alogab=b(a>0;a1;b>0)
Pamatidentitātes pierādījums
Apzīmē logab=n. Pēc logaritma definīcijas an=b.
Kāpinātāju \(n\) aizvieto ar apzīmēto, iegūst alogab=b.
 
Logaritma īpašības
  
1) Skaitļa 1 logaritms pie jebkuras bāzes ir 0:
loga1=0, jo a0=1.
  
2) Ja logaritmējamais skaitlis ir vienāds ar logaritma bāzi, tad logaritma vērtība ir skaitlis 1: logaa=1, jo a1=a
 
3) Divu pozitīvu skaitļu x un y reizinājuma logaritms ir vienāds ar šo skaitļu logaritmu summu: loga(xy)=logax+logay
Pierādījums.
Pēc logaritma pamatidentitātes, \(x\) un \(y\) var izteikt kā pakāpes ar bāzi \(a\):
x=alogax;y=alogay.
 
Uzrakstām reizinājumu (1) :
xy=alogaxalogay=alogax+logay, pēc pakāpju īpašības aman=am+n.
 
Pēc logaritma pamatidentitātes  \(x\) un \(y\) reizinājumu var uzrakstīt arī sekojoši:
xy=alogaxy - izteiksme (2).
 
Tā kā vienādībās (1) un (2) kreisās puses ir vienādas, tad arī labajām pusēm jābūt vienādām:
alogax+logay=alogaxy
 
Pakāpes ar vienādām bāzēm ir vienādas, ja to kāpinātāji ir vienādi. Tātad
logax+logay=logaxy.
Tas bija jāpierāda.
 
4) Divu pozitīvu skaitļu dalījuma logaritms ir vienāds ar dalāmā un dalītāja logaritmu starpību: logaxy=logaxlogay
Pamēģini pierādīt pēc 3) parauga!
 
5) Pozitīva skaitļa pakāpes logaritms ir vienāds ar kāpinātāja reizinājumu ar skaitļa logaritmu: logaxk=klogax
Svarīgi!
No 2) un no 5) īpašības izriet, ka jebkuru skaitli var uzrakstīt kā logaritmu: m=logaam, kur a>0, a1
6)  logakx=1klogax
 
7) Logaritmu no jebkuras bāzes var pārveidot uz citu bāzi, izmantojot formulu: logab=logcblogca, ja a>0,b>0,a1.
Ievēro - \(c\) ir jebkurš skaitlis, kurš apmierina nosacījumus c>0,c1.
 
Secinājums: bāzi un zemlogaritma izteiksmi var mainīt vietām, izmantojot sakarību: logab=1logba, ja b1.
 
  
7. īpašības pierādījums.
Pēc pamatidentitātes b=alogab. Abas vienādības puses logaritmē pie bāzes \(c\):
logcb=logcalogab
 
Izmantojot pakāpes logaritma īpašību logcak=klogca, kāpinātāju var uzrakstīt pirms logaritma:
logcb=logablogca
jeb
logablogca=logcb
 
Abas vienādības puses izdala ar logca(logca0jeba1)
logablogca=logcb|:logcalogab=logcblogca