Logaritma pamatidentitāte:
Pamatidentitātes pierādījums
Apzīmē . Pēc logaritma definīcijas .
Kāpinātāju \(n\) aizvieto ar apzīmēto, iegūst .
Logaritma īpašības
1) Skaitļa 1 logaritms pie jebkuras bāzes ir 0:
, jo .
2) Ja logaritmējamais skaitlis ir vienāds ar logaritma bāzi, tad logaritma vērtība ir skaitlis 1: , jo
3) Divu pozitīvu skaitļu un reizinājuma logaritms ir vienāds ar šo skaitļu logaritmu summu:
Pierādījums.
Pēc logaritma pamatidentitātes, \(x\) un \(y\) var izteikt kā pakāpes ar bāzi \(a\):
.
Uzrakstām reizinājumu (1) :
, pēc pakāpju īpašības .
Pēc logaritma pamatidentitātes \(x\) un \(y\) reizinājumu var uzrakstīt arī sekojoši:
- izteiksme (2).
Tā kā vienādībās (1) un (2) kreisās puses ir vienādas, tad arī labajām pusēm jābūt vienādām:
Pakāpes ar vienādām bāzēm ir vienādas, ja to kāpinātāji ir vienādi. Tātad
.
Tas bija jāpierāda.
4) Divu pozitīvu skaitļu dalījuma logaritms ir vienāds ar dalāmā un dalītāja logaritmu starpību:
Pamēģini pierādīt pēc 3) parauga!
5) Pozitīva skaitļa pakāpes logaritms ir vienāds ar kāpinātāja reizinājumu ar skaitļa logaritmu:
Svarīgi!
No 2) un no 5) īpašības izriet, ka jebkuru skaitli var uzrakstīt kā logaritmu: , kur ,
6)
7) Logaritmu no jebkuras bāzes var pārveidot uz citu bāzi, izmantojot formulu: , ja .
Ievēro - \(c\) ir jebkurš skaitlis, kurš apmierina nosacījumus .
Secinājums: bāzi un zemlogaritma izteiksmi var mainīt vietām, izmantojot sakarību: , ja .
7. īpašības pierādījums.
Pēc pamatidentitātes . Abas vienādības puses logaritmē pie bāzes \(c\):
Izmantojot pakāpes logaritma īpašību , kāpinātāju var uzrakstīt pirms logaritma:
jeb
Abas vienādības puses izdala ar