Logaritmisko nevienādību atrisināšana — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Svarīgi!

Logaritmiskās nevienādības risināšanas pirmais solis ir pieļaujamo vērtību kopas (definīcijas apgabala) noteikšana.

Risinot nevienādību, parasti rodas bezgalīgi daudz atrisinājumu, tāpēc tos nav iespējams pārbaudīt (kā vienādojumos).

Lai atrisinātu logaritmisko nevienādību, to cenšas reducēt uz kādu no pamatformām:

\begin{array}{l} \log_{a} x > \log_{a} y \\ \log_{a} f (x) > \log_{a} g (x) (vai <; \leq; \geq) \end{array}

Pārejot no logaritmiskās pamatnevienādības uz algebrisku nevienādību, ir jānoskaidro, vai logaritma bāze

a > 1

vai

0 < a < 1

Ja logaritma bāze

a > 1

, tad, nevienādības zīme algebriskajā nevienādībā ir tāda pati kā logaritmiskajā nevienādībā (1. piemērs).

0 < a < 1

, tad nevienādības zīme algebriskajā nevienādībā ir pretēja zīmei logaritmiskajā nevienādībā (2. piemērs).

Piemērs:

1. Jāatrisina logaritmiskā nevienādība

\log_{4} (2 x - 1) < \log_{4} (5 - x)

Atrisinājums

Nosaka definīcijas apgabalu:

\{\begin{cases} 2 x - 1 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 x > 1 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > 0, 5 \\ x < 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (0, 5; 5)

Tā kā bāze

4 > 1

, tad funkcija ir augoša (nevienādības zīme nemainās).

\begin{array}{l} 2 x - 1 < 5 - x \\ 2 x + x < 5 + 1 \\ 3 x < 6 \\ x < 2 \end{array}

Aplūko atrisinājumu kopā ar definīcijas apgabalu:

Atbilde:

x \in (0,5; 2)

Piemērs:

2. Dota logaritmiskā nevienādība

\log_{0,5} (2 x - 3) \geq 1

Atrisinājums

Nosaka definīcijas apgabalu:

\begin{array}{l} 2 x - 3 > 0 \\ 2 x > 3 \\ x > 1,5 \\ x \in (1,5; + \infty) \end{array}

Tā kā bāze

0 < 0,5 < 1

, tad funkcija ir dilstoša (nevienādības zīme mainās uz pretējo).

\begin{array}{l} 2 x - 3 \leq {0,5}^{1} \\ 2 x - 3 \leq 0,5 \\ 2 x \leq 3,5 \\ x \leq 1,75 \end{array}

Aplūko atrisinājumu kopā ar definīcijas apgabalu:

Atbilde:

x \in (1,5; 1,75]

Iepriekšējā teorija

Atradi kļūdu?

2. Logaritmisko nevienādību atrisināšana