Nevienādība |logx|<a — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Lai atrisinātu logaritmisko nevienādību ar moduli, jāzina moduļa jēga.

Modulis ir skaitļa attālums līdz nullei. Piemēram, \(|x|<6\) nozīmē, ka uz koordinātu taisnes skaitlis \(x\) atrodas mazāk nekā \(6\) vienību attālumā no nulles, t.i., \(x\) atrodas starp \(-6\) un \(6\) (neieskaitot) jeb \(-6 < x < 6\).

Ja \(|x| < a\), tad uz koordinātu ass jāatrod tie punkti, kuru attālums līdz nullei ir mazāks nekā \(a\) vienības (\(a>0\)).

Tātad \(-a < x < a\) jeb

\{\begin{cases} x > - a \\ x < a \end{cases}

.

Aplūkosim piemēru.

Nosaki nevienādības

|\log_{3} x| < 2

atrisinājumu!

Risinājums

Vispirms nosaka definīcijas apgabalu:

x > 0

.

Definīcijas apgabalu vajadzētu likt vienā sistēmā ar nevienādības risinājumu, taču tas apgrūtina pierakstu.

Galvenais atcerēties, ka uzdevuma atbilde ir iegūtās algebriskās nevienādības atrisinājuma un definīcijas apgabala šķēlums.

Pēc moduļa definīcijas nevienādību var risināt ar sistēmu vai kā dubulto nevienādību.

Aplūkosim abus variantus.

1. variants. Modulis kā sistēma

\begin{array}{l} \{\begin{cases} \log_{3} x < 2 \\ \log_{3} x > - 2 \end{cases} \\ \{\begin{cases} \log_{3} x < \log_{3} 3^{2} \\ \log_{3} x > \log_{3} 3^{- 2} \end{cases} \end{array}

Tā kā bāze lielāka par \(1\), tad, pārejot uz algebrisku nevienādību, nevienādības zīmes nemainās.

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x < 3^{2} \\ x > 3^{- 2} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x < 9 \\ x > \frac{1}{9} \end{cases} \end{array}

2. variants. Modulis kā dubultā nevienādība

|\log_{3} x| < 2

\begin{array}{l} - 2 < \log_{3} x < 2 \\ \log_{3} 3^{- 2} < \log_{3} x < \log_{3} 3^{2} \end{array}

Tā kā bāze

3 > 1

, tad funkcija ir augoša un nevienādības zīmes nemainās.

\begin{array}{l} 3^{- 2} < x < 3^{2} \\ \frac{1}{3^{2}} < x < 3^{2} \\ \frac{1}{9} < x < 9 \end{array}

Uzdevuma atrisinājums ir iegūtās nevienādības atrisinājuma un definīcijas apgabala

x > 0

šķēlums.

0

\frac{1}{9}

9

Atbilde:

x \in (\frac{1}{9}; 9)

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!