Vienādojuma x^n=a atrisinājums, ja n ir vesels skaitlis — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Mācāmies risināt vienādojumu

x^{n} = a (n \in N)

Ja $n = 1$, tad tad

x^{1} = a

ir lineārs vienādojums.

Piemērs:

\begin{array}{l} x^{1} = 4 \\ x = 4 \end{array}

Ja $n = 2$, tad

x^{2} = a

ir kvadrātvienādojums.

Piemērs:

\begin{array}{l} x^{2} = 25 \\ x = \pm \sqrt{25} \\ x = \pm 5 \end{array}

Pārbaude:

\begin{array}{l} {(5)}^{2} = 25 \\ {(- 5)}^{2} = 25 \end{array}

Ievēro, kvadrātvienādojuma

x^{2} = a

atrisinājums eksistē tikai tad, ja

a \geq 0

Negatīva skaitļa kvadrātsakne neeksistē, jo neviena skaitļa kvadrāts nav negatīvs skaitlis.

Vienādojumu

x^{n} = a

risina atkarībā no tā, vai $n$ ir pāra vai nepāra skaitlis.

Ja $n$ ir pāra skaitlis ($2; 4; 6; 8$;...), tad vienādojumam

x^{n} = a

atrisinājums eksistē tikai tad, ja

a \geq 0

un tad

x = \pm \sqrt[n]{a}

Ja $a > 0$, tad vienādojumam ir divas saknes. Ja $a = 0$, tad ir viena sakne $x = 0$

Piemērs:

Uzskatāmības dēļ piemērus sakārtosim tabulā.

$a$	Vienādojums	Sakņu skaits
$a=0$	$\begin{array}{l} x^{4} = 0 \\ x = \pm \sqrt{0} \\ x = 0 \end{array}$	viena sakne
$a<0$	$x^{6} = - 64$ nav iespējams	nav sakņu
$a>0$	$\begin{array}{l} x^{4} = 16 \\ \sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{16} \\ x = \pm 2 \end{array}$	ir divas saknes