Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Ievilkts leņķis
Leņķi, kura virsotne atrodas uz riņķa līnijas, bet malas krusto riņķa līniju, sauc par riņķa līnijā ievilktu leņķi (zīm. \(\sphericalangle ASB\)).  
Ievilkta leņķa malas riņķa līnijas iekšpusē ir hordas.
YCUZD_221014_4532_centra un ievilktsark.svg
Saka: ievilkts leņķis balstās uz loka, kas atrodas starp tā malām. Zīmējumā ievilkts leņķis  \(ASB\ \)balstās uz loka  \(AkB.\)
Teorēma. Ievilkta leņķa lielums ir vienāds ar pusi no tā loka leņķiskā lieluma, uz kura tas balstās.
Lai teorēmu pierādītu, jāaplūko trīs gadījumi:
  • riņķa līnijas centrs atrodas uz ievilktā leņķa malas;
  • riņķa līnijas centrs atrodas ievilktā leņķa iekšpusē;
  • riņķa līnijas centrs atrodas ārpus ievilktā leņķa.
1. gadījums.
Riņķa līnijas centrs atrodas uz ievilktā leņķa \(BSA\) malas.
YCUZD_221018_4540_ieviklts1.svg
Savienojot punktus O un B, iegūst vienādsānu trijstūri \(OBS\), leņķis \(BOA\) ir tā ārējais leņķis*, tāpēc AOB=OSB+OBS.
 
  YCUZD_221018_4540_ievilkts.svg
 
Tā kā OSB=OBS, tad
AOB=2OSBOSB=12AOB
Tātad ievilktais leņķis ir uz pusi mazāks nekā centra leņķis.
Mēs zinām, ka
Centra leņķa lielums ir vienāds ar tam atbilstošā riņķa līnijas loka leņķisko lielumu:
AOB=AkB.
Tāpēc ievilktais leņķis OSB=12AkB.
Tas bija jāpierāda.
 
2. un 3. gadījumu pierādi patstāvīgi.
 
 
*Atkārtosim teorēmu par trijstūra ārējā leņķa īpašību un tās pierādījumu.
Teorēma. Trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar to divu iekšējo leņķu summu, kas nav tam blakus.
Trijstūrī \(ABC\) (zīmējumā, zemāk) 1+2=180°3.
Taču arī šī trijstūra ārējais leņķis BCD=180°3, kā blakusleņķis.
YCUZD_221018_4540_trijstārējais.svg
 
Tādējādi 1+2=BCD.
Tas bija jāpierāda.
 
  
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa