SKOLA 2030 uzdevums
Pierāda Pitagora teorēmu un kosinusu teorēmu, lietojot vektorus.
Dots: taisnleņķa trijstūris
Jāpierāda: Pitagora teorēma - katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu.
Pierādījums
Uzzīmējam taisnleņķa trijstūri \(ABC\).
Izvēlēsimies uz trijstūra malām vektorus tā, lai varētu uzrakstīt divu vektoru summu.
Apzīmējam .
Redzam, ka
Sakarības abas puses kāpina kvadrātā:
Tā kā katetes veido taisnu leņķi, tad skalārais reizinājums , tad .
Vektora skalārais kvadrāts ir tā garuma kvadrāts, tāpēc .
Tas bija jāpierāda.
Pierādīsim kosinusu teorēmu.
Dots: patvaļīgs trijstūris
Jāpierāda: Trijstūra jebkuras malas kvadrāts ir vienāds ar abu pārējo malu kvadrātu summu, no kuras atņemts šo malu divkāršots reizinājums ar ietvertā leņķa kosinusu.
Pierādījums
Uzzīmējam patvaļīgu trijstūri \(ABC\).
Izvēlēsimies uz trijstūra malām vektorus tā, lai varētu uzrakstīt divu vektoru starpību.
Apzīmējam
Redzam, ka
.
Sakarības abas puses kāpina kvadrātā:
Pēc definīcijas: vektoru skalārais reizinājums ir šo vektoru garumu un vektoru veidotā leņķa kosinusa reizinājums.
Tātad
, kur leņķi \(C\) veido trijstūra malas \(a\) un \(b\).
Tas bija jāpierāda.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa