Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
SKOLA 2030 uzdevums
Pierāda Pitagora teorēmu un kosinusu teorēmu, lietojot vektorus.
 
Dots: taisnleņķa trijstūris
Jāpierāda: Pitagora teorēma -  katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu.
  
Pierādījums
Uzzīmējam taisnleņķa trijstūri \(ABC\).
 
YCUZD_221011_4530_vektori (2).svg 
Izvēlēsimies uz trijstūra malām vektorus tā, lai varētu uzrakstīt divu vektoru summu.
Apzīmējam BC=a,CA=b,BA=c .
Redzam, ka a+b=c
 
Sakarības abas puses kāpina kvadrātā:
a+b2=c2a2+2ab+b2=c2
 
Tā kā katetes veido taisnu leņķi, tad skalārais reizinājums ab=0, tad a2+b2=c2.
 
Vektora skalārais kvadrāts ir tā garuma kvadrāts, tāpēc a2+b2=c2.
Tas bija jāpierāda.
 
Pierādīsim kosinusu teorēmu.
 
Dots: patvaļīgs trijstūris
Jāpierāda: Trijstūra jebkuras malas kvadrāts ir vienāds ar abu pārējo malu kvadrātu summu, no kuras atņemts šo malu divkāršots reizinājums ar ietvertā leņķa kosinusu.
  
Pierādījums
Uzzīmējam patvaļīgu trijstūri \(ABC\).
YCUZD_221018_4542_Leņķi un nogriežņi riņķī_1.svg
Izvēlēsimies uz trijstūra malām vektorus tā, lai varētu uzrakstīt divu vektoru starpību.
Apzīmējam CB=a,CA=b,AB=c
Redzam, ka
c=ab.
Sakarības abas puses kāpina kvadrātā:
c2=ab2=c2=a22ab+b2
 
Pēc definīcijas: vektoru skalārais reizinājums ir šo vektoru garumu un vektoru veidotā leņķa kosinusa reizinājums.
Tātad
c2=a2+b22abcosC, kur leņķi \(C\) veido trijstūra malas \(a\) un \(b\).
 
Tas bija jāpierāda.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa