Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Sinusu teorēma. Trijstūru malas ir proporcionālas to pretleņķu sinusiem:
asinα=bsinβ=csinγ
Pierādīsim šo teorēmu.
 
Dots: Trijstūris \(ABC\), \(a, b, c\) - trijstūra atbilstošās malas; α,β,γ - malu pretleņķi.
Jāpierāda: asinα=bsinβ=csinγ
Pierādījums
Pierādījumā izmanto trijstūra laukuma formulas.
Trijstūra laukums ir malas un pret to vilktā augstuma reizinājuma puse.
Trijstūra laukums ir puse no malu reizinājuma ar sinusu leņķim starp šīm malām.
 
 YCUZD_221019_4552_Sinusu teorēma_1.svg
 
Novelkam trijstūra augstumu. Šajā gadījumā ir uzzīmēts platleņķa trijstūris, tāpēc tā augstums \(h\) atrodas uz malas \(b\) pagarinājuma.
SABC=12bh
Tā kā trijstūris \(ABD\) ir taisnleņķa, tad sinusu var izteikt kā pretkatetes un hipotenūzas attiecību:
sinα=hch=csinα
 
Un sekojoši S=12bcsinα (1)
Analogi
SABC=12acsinβ (2)
 
No vienādībām (1) un (2) seko, ka
12bcsinα=12acsinβ|2:c,c0bsinα=asinβ|:sinβ:sinαbsinβ=asinα
 
Ir spēkā arī trijstūra laukuma formula S=12absinγ (3).
No vienādībām (2) un (3) seko, ka
12acsinβ=12absinγ|2:a,a0csinβ=bsinγ|:sinβ:sinγcsinγ=bsinβ
 
Apvienojam abas iegūtās vienādības:
asinα=bsinβ=csinγ,
kas bija jāpierāda.
 
Piezīme. Pierādījumā var uzreiz izmantot trjstūra laukuma formulu ar sinusu, neizmantojot augstumu.
Matemātika I eksāmena formulu lapā šī formula ir dota.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa