Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Ko nozīmē vidējais proporcionālais?
Ja starp nogriežņiem \(x\), \(y\), \(z\) pastāv sakarība xy=yz, tad saka, ka \(y\) ir vidējais proporcionālais jeb vidējais ģeometriskais. Sakarību var uzrakstīt arī šādi:
y2=xzy=xz
Taisnleņķa trijstūrī ir spēkā teorēmas, ko sauc arī par Eiklīda teorēmām.
YCUZD_221018_4543_eiklīdskrāsains.svg
Taisnleņķa trijstūrī katete ir vidējais proporcionālais starp hipotenūzu un šis katetes projekciju uz hipotenūzas.
Taisnleņķa trijstūra augstums, kas vilkts pret hipotenūzu, ir vidējais proporcionālais nogrieznis starp katešu projekcijām uz hipotenūzas.
Pierādīsim šīs teorēmas.
 
Dots: Taisnleņķa trijstūris \(ABC\).
hc - augstums, kas novilkts pret hipotenūzu,
ac - katetes \(a\) projekcija uz hipotenūzu \(c\),
bc - katetes \(b\) projekcija uz hipotenūzu \(c\).
 
Jāpierāda:
a2=cacb2=cbch2=acbc
 
Pierādījums
Izmanto trijstūru līdzību.
Ja taisnleņķa trijstūrī ir novilkts augstums, trijstūri \(ABC\), \(CBD\) un \(ACD\) ir līdzīgi.
YCUZD_221018_4543_eiklīdsard krāsains.svg
 
ΔCBDΔABC, jo abiem trijstūriem ir viens kopīgs leņķis B un BDC=BCA=90°.
 
ΔACDΔABC, jo abiem trijstūriem ir kopīgs leņķis A un ADC=BCA=90°.
 
Tāpēc spēkā ir šādas attiecības
aca=ac jeb a2=cac, kas nozīmē, ka a=cac.
bcb=bc jeb b2=cbc, kas nozīmē, ka b=cbc.
 
Tā kā ΔACDΔCBD, tad
bchc=hcac jeb hc2=acbc, kas nozīmē, ka h=acbc.
 
Secinājums
Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrāti attiecas tāpat kā šo katešu atbilstošās projekcijas uz hipotenūzas.
 
Izdalām sakarības a2=cac un b2=cbc.
 
a2b2=caccbc tātad a2b2=acbc
Piemērs:
Aprēķini taisnleņķa trijstūra katešu attiecību, ja katešu projekcijas attiecas kā 9:25.
 
Risinājums
Tā kā a2b2=acbc, tad
a2b2=925a2b2=925ab=35ab=±35ab=35,
jo nogriežņu garumi ir nenegatīvi skaitļi.
Atbilde: katešu attiecība ir 3:5.
Formulas ir dotas matemātika II formulu lapā
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa