Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Jau no pamatskolas kursa ir zināmas trijstūra laukuma formulas.
 
Patvaļīga trijstūra laukuma formulas
  
SΔ=absinγ2, kur \(a\) un \(b\) ir trijstūra malas, γ  ir leņķis, ko veido \(a\) un \(b\),
 
SΔ=aha2, kur ha - augstums, kas vilkts pret malu \(a\).
trijst ar augstumu laukumam.svg
Piemērs:
Ievēro, ka laukuma formulā ar augstumu svarīga ir pareiza augstuma un malas izvēle!
trijstūris ar diviem h laukumama.svg
SABC=ACBN2SABC=BCAK2
  
Taisnleņķa trijstūra laukuma formulas
S=ab2, kur \(a\) un \(b\) ir katetes. Formulu viegli iegūt no taisnstūra laukuma \(S=ab.\)
taisnstūral.svg
Dažreiz taisnleņķa trijstūrim izdevīgi lietot laukuma formulu ar augstumu: St.Δ=chc2.
 
Vienādmalu (regulāra) trijstūra laukuma formula
 
Sreg=a234, kur \(a\) ir malas garums.
Formulu viegli iegūt no laukuma formulas ar sinusu: Sreg=aasin60°2=a2322.
 
Trijstūra laukumu var aprēķināt arī tad, ja doti visu trīs malu garumi.
Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par Hērona formulu.
trijstar mazajiem burtiem.svg
Ja \(a\), \(b\) un \(c\) ir trijstūra malas, tad laukums SΔ=ppapbpc, kur p=a+b+c2 - pusperimetrs.
Hērona formulu lieto tad, kad dotas visas trīs trijstūra malas.
Piemērs:
Aprēķini laukumu trijstūrim, kura malu garumi ir \(17\) cm, \(39\) cm, \(44\) cm.
  
Risinājums:
p=17+39+442=50SΔ=50501750395044==5033116==2523111123==52311==330cm2
Lai viegli izvilktu sakni no reizinājuma, nevajag visus skaitļus sareizināt, bet tieši pretēji - vajag tos sadalīt  reizinātājos. Atceries: aa=a.
 
Atbilde: Trijstūra laukums ir 330cm2.
Izmantojot divas laukuma formulas, sastādot vienādojumu, var aprēķināt trijstūra elementus - malas, leņķus vai augstumu. 
Piemērs:
Aprēķini trijstūra īsāko augstumu, ja tā malas ir 15cm, 13cm, 4cm.
 
Risinājums:
Lieto laukuma formulas: SΔ=aha2 un SΔ=ppapbpc
Izmanto faktu, ka trijstūrī īsākais ir tas augstums, kas vilkts pret garāko malu, tātad a=15cm.
 
SΔ=161312=24cm2

Sastāda vienādojumu:
15h2=24|215h=48h=4815=3,2(cm)
Atbilde: Trijstūra īsākais augstums ir 3,2cm.         
Hērona formulu var lietot paralelograma laukuma aprēķināšanai, ja dotas tā malas un diagonāle.
Piemērs:
Dots paralelograms ar malu garumiem 17cm un 39cm, diagonāles garums ir 44cm. Aprēķini paralelograma laukumu.
 
Risinājums:
Diagonāle paralelogramu sadala divos vienādos trijstūros. Izmantosim 1. piemērā iegūto rezultātu
Spar.=2SΔ=2330=660(cm2)
 
Atbilde: Paralelograma laukums ir 660cm2
Aplūko laukuma formulas matemātikas eksāmena uzziņu lapās.
  
Tālāk iepazīsties ar Hērona formulas pierādījumu.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa