Jau no pamatskolas kursa ir zināmas trijstūra laukuma formulas.
Patvaļīga trijstūra laukuma formulas
, kur \(a\) un \(b\) ir trijstūra malas, ir leņķis, ko veido \(a\) un \(b\),
, kur - augstums, kas vilkts pret malu \(a\).
Piemērs:
Ievēro, ka laukuma formulā ar augstumu svarīga ir pareiza augstuma un malas izvēle!
Taisnleņķa trijstūra laukuma formulas
, kur \(a\) un \(b\) ir katetes. Formulu viegli iegūt no taisnstūra laukuma \(S=ab.\)
Dažreiz taisnleņķa trijstūrim izdevīgi lietot laukuma formulu ar augstumu: .
Vienādmalu (regulāra) trijstūra laukuma formula
, kur \(a\) ir malas garums.
Formulu viegli iegūt no laukuma formulas ar sinusu: .
Trijstūra laukumu var aprēķināt arī tad, ja doti visu trīs malu garumi.
Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par Hērona formulu.
Ja \(a\), \(b\) un \(c\) ir trijstūra malas, tad laukums , kur - pusperimetrs.
Hērona formulu lieto tad, kad dotas visas trīs trijstūra malas.
Piemērs:
Aprēķini laukumu trijstūrim, kura malu garumi ir \(17\) cm, \(39\) cm, \(44\) cm.
Risinājums:
Lai viegli izvilktu sakni no reizinājuma, nevajag visus skaitļus sareizināt, bet tieši pretēji - vajag tos sadalīt reizinātājos. Atceries: .
Atbilde: Trijstūra laukums ir .
Izmantojot divas laukuma formulas, sastādot vienādojumu, var aprēķināt trijstūra elementus - malas, leņķus vai augstumu.
Piemērs:
Aprēķini trijstūra īsāko augstumu, ja tā malas ir , , .
Risinājums:
Lieto laukuma formulas: un
Izmanto faktu, ka trijstūrī īsākais ir tas augstums, kas vilkts pret garāko malu, tātad .
Sastāda vienādojumu:
Atbilde: Trijstūra īsākais augstums ir .
Hērona formulu var lietot paralelograma laukuma aprēķināšanai, ja dotas tā malas un diagonāle.
Piemērs:
Dots paralelograms ar malu garumiem un , diagonāles garums ir . Aprēķini paralelograma laukumu.
Risinājums:
Diagonāle paralelogramu sadala divos vienādos trijstūros. Izmantosim 1. piemērā iegūto rezultātu
Atbilde: Paralelograma laukums ir .
Aplūko laukuma formulas matemātikas eksāmena uzziņu lapās.
Tālāk iepazīsties ar Hērona formulas pierādījumu.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa