Trijstūra laukuma formulas. Hērona formula — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Jau no pamatskolas kursa ir zināmas trijstūra laukuma formulas.

Patvaļīga trijstūra laukuma formulas

S_{Δ} = \frac{ab \sin γ}{2}

, kur $a$ un $b$ ir trijstūra malas,

γ

ir leņķis, ko veido $a$ un $b$,

S_{Δ} = \frac{a h_{a}}{2}

, kur

h_{a}

- augstums, kas vilkts pret malu $a$.

Piemērs:

Ievēro, ka laukuma formulā ar augstumu svarīga ir pareiza augstuma un malas izvēle!

\begin{array}{l} S (ABC) = \frac{AC \cdot BN}{2} \\ S (ABC) = \frac{BC \cdot AK}{2} \end{array}

Taisnleņķa trijstūra laukuma formulas

S = \frac{a \cdot b}{2}

, kur $a$ un $b$ ir katetes. Formulu viegli iegūt no taisnstūra laukuma $S=ab.$

Dažreiz taisnleņķa trijstūrim izdevīgi lietot laukuma formulu ar augstumu:

S_{t . Δ} = \frac{c \cdot h_{c}}{2}

Vienādmalu (regulāra) trijstūra laukuma formula

S_{reg} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

, kur $a$ ir malas garums.

Formulu viegli iegūt no laukuma formulas ar sinusu:

S_{reg} = \frac{a \cdot a \cdot \sin 60 °}{2} = \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2}

Trijstūra laukumu var aprēķināt arī tad, ja doti visu trīs malu garumi.

Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par Hērona formulu.

Ja $a$, $b$ un $c$ ir trijstūra malas, tad laukums

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

, kur

p = \frac{a + b + c}{2}

- pusperimetrs.

Hērona formulu lieto tad, kad dotas visas trīs trijstūra malas.

Piemērs:

Aprēķini laukumu trijstūrim, kura malu garumi ir $17$ cm, $39$ cm, $44$ cm.

Risinājums:

\begin{array}{l} p = \frac{17 + 39 + 44}{2} = 50 \\ S_{Δ} = \sqrt{50 \cdot (50 - 17) \cdot (50 - 39) \cdot (50 - 44)} = \\ = \sqrt{50 \cdot 33 \cdot 11 \cdot 6} = \\ = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3} = \\ = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = \\ = 330 ({cm}^{2}) \end{array}

Lai viegli izvilktu sakni no reizinājuma, nevajag visus skaitļus sareizināt, bet tieši pretēji - vajag tos sadalīt reizinātājos. Atceries:

\sqrt{a \cdot a} = a

Atbilde: Trijstūra laukums ir

330 {cm}^{2}

Izmantojot divas laukuma formulas, sastādot vienādojumu, var aprēķināt trijstūra elementus - malas, leņķus vai augstumu.

Piemērs:

Aprēķini trijstūra īsāko augstumu, ja tā malas ir $15 cm$ , $13 cm$ , $4 cm$ .

Risinājums:

Lieto laukuma formulas:

S_{Δ} = \frac{a h_{a}}{2}

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

Izmanto faktu, ka trijstūrī īsākais ir tas augstums, kas vilkts pret garāko malu, tātad

a = 15 cm

S_{Δ} = \sqrt{16 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 12} = 24 ({cm}^{2})

Sastāda vienādojumu:

\begin{array}{l} \frac{15 \cdot h}{2} = 24 | \cdot 2 \\ 15 \cdot h = 48 \\ h = \frac{48}{15} = 3,2 (cm) \end{array}

Atbilde: Trijstūra īsākais augstums ir

3, 2 cm

Hērona formulu var lietot paralelograma laukuma aprēķināšanai, ja dotas tā malas un diagonāle.

Piemērs:

Dots paralelograms ar malu garumiem $17 cm$ un $39 cm$ , diagonāles garums ir $44 cm$ . Aprēķini paralelograma laukumu.

Risinājums:

Diagonāle paralelogramu sadala divos vienādos trijstūros. Izmantosim 1. piemērā iegūto rezultātu

S_{par .} = 2 \cdot S_{Δ} = 2 \cdot 330 = 660 ({cm}^{2})

Atbilde: Paralelograma laukums ir

660 {cm}^{2}

Aplūko laukuma formulas matemātikas eksāmena uzziņu lapās.

Tālāk iepazīsties ar Hērona formulas pierādījumu.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

9. Trijstūra laukuma formulas. Hērona formula

Teorija