Hērona formulas pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Uzdevums matemātikas entuziastiem

Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par *Hērona formulu.

Ja \(a\), \(b\) un \(c\) ir trijstūra malas, tad laukums

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

, kur

p = \frac{a + b + c}{2}

- pusperimetrs.

Pierādīsim šo formulu.

Pierādījumā izmantosim jau zināmo laukuma formulu

S_{Δ} = \frac{1}{2} ab \sin γ

un kosinusu teorēmu.

Dots: \(a\), \(b\) un \(c\) ir trijstūra malas, malas \(a\) un \(b\) veido leņķi

γ

Jāpierāda:

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

, kur

p = \frac{a + b + c}{2}

- pusperimetrs.

Pierādījums

Pēc kosinusu teorēmas

\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cos γ \\ \cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 ab} \end{array}

Izmantojam trigonometrisko pamatidentitāti

\sin^{2} γ + \cos^{2} γ = 1

Izsaka

\sin^{2} γ = 1 - \cos^{2} γ = (1 - \cos γ) (1 + \cos γ)

\begin{array}{l} \sin^{2} γ = (1 - \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 ab}) (1 + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 ab}) \\ \sin^{2} γ = (\frac{2 ab - a^{2} - b^{2} + c^{2}}{2 ab}) (\frac{{2 ab + a}^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 ab}) \\ \sin^{2} γ = (\frac{c^{2} - (a^{2} - 2 ab + b^{2})}{2 ab}) (\frac{a^{2} + 2 ab + b^{2} - c^{2}}{2 ab}) \\ \sin^{2} γ = (\frac{c^{2} - {(a - b)}^{2}}{2 ab}) (\frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{2 ab}) \end{array}

Vēlreiz lietojam kvadrātu starpības formulu

x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

\begin{array}{l} \sin^{2} γ = (\frac{(c - (a - b)) (c + (a - b))}{2 ab}) (\frac{((a + b) - c) ((a + b) + c)}{2 ab}) \\ \sin^{2} γ = (\frac{(c - a + b) (c + a - b)}{2 ab}) (\frac{(a + b - c) (a + b + c)}{2 ab}) \\ \sin^{2} γ = \frac{1}{4 a^{2} b^{2}} (c - a + b) (c + a - b) (a + b - c) (a + b + c) \end{array}

Mums ir zināms, ka malu summa ir perimetrs vai divi pusperimetri:

a + b + c = 2 p

Tas nozīmē, ka

\begin{array}{l} c - a + b = c - a + b - a + a = 2 p - 2 a \\ c + a - b = c + a - b - b + b = 2 p - 2 b \\ a + b - c = a + b - c - c + c = 2 p - 2 c \end{array}

\begin{array}{l} \sin^{2} γ = \frac{1}{4 a^{2} b^{2}} (2 p - 2 c) (2 p - 2 b) (2 p - 2 a) 2 p \\ \sin^{2} γ = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{4 a^{2} b^{2}} (p - c) (p - b) (p - a) p \\ \sin^{2} γ = \frac{4}{a^{2} b^{2}} (p - c) (p - b) (p - a) p \\ \sin γ = \sqrt{\frac{4}{a^{2} b^{2}} (p - c) (p - b) (p - a) p} \\ \sin γ = \frac{2}{a \cdot b} \sqrt{(p - c) (p - b) (p - a) p} \end{array}

Ievietojam iegūto sinusa izteiksmi trijstūra laukuma formulā:

\begin{array}{l} S_{Δ} = \frac{1}{2} ab \sin γ \\ S_{Δ} = \frac{1}{2} ab \cdot \frac{2}{a \cdot b} \sqrt{(p - c) (p - b) (p - a) p} \\ S_{Δ} = \sqrt{(p - c) (p - b) (p - a) p} \end{array}

jeb

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

Tas bija jāpierāda

*Interesanti: sengrieķu matemātiķis un mehāniķis Hērons dzīvojis 1. gadsimtā. Hērona darbiem lietišķajā matemātikā ir enciklopēdiska nozīme: vairākas viņa radītās mehāniskās un automātiskās ierīces ietekmējušas Eiropas zinātnes attīstību līdz pat renesanses laikmetam.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

10. Hērona formulas pierādījums

Teorija