Uzdevums matemātikas entuziastiem
Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par *Hērona formulu.
Ja \(a\), \(b\) un \(c\) ir trijstūra malas, tad laukums , kur - pusperimetrs.
Pierādīsim šo formulu.
Pierādījumā izmantosim jau zināmo laukuma formulu un kosinusu teorēmu.
Dots: \(a\), \(b\) un \(c\) ir trijstūra malas, malas \(a\) un \(b\) veido leņķi .
Jāpierāda: , kur - pusperimetrs.
Pierādījums
Pēc kosinusu teorēmas
Izmantojam trigonometrisko pamatidentitāti .
Izsaka .
Vēlreiz lietojam kvadrātu starpības formulu
Mums ir zināms, ka malu summa ir perimetrs vai divi pusperimetri: .
Tas nozīmē, ka
Ievietojam iegūto sinusa izteiksmi trijstūra laukuma formulā:
jeb .
Tas bija jāpierāda
*Interesanti: sengrieķu matemātiķis un mehāniķis Hērons dzīvojis 1. gadsimtā. Hērona darbiem lietišķajā matemātikā ir enciklopēdiska nozīme: vairākas viņa radītās mehāniskās un automātiskās ierīces ietekmējušas Eiropas zinātnes attīstību līdz pat renesanses laikmetam.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa