Par trijstūra bisektrisi sauc trijstūra leņķa bisektrises nogriezni, kas atrodas trijstūra iekšpusē.
Par leņķa bisektrisi sauc staru, kura sākumpunkts ir leņķa virsotnē un kurš sadala šo leņķi divās vienādās daļās.
Atkārto bisektrises konstrukciju.
Teorēma. Trijstūra iekšējā leņķa bisektrise sadala pretējo malu nogriežņos, kuru attiecība ir vienāda ar šī leņķa attiecīgo piemalu attiecību.
Šo likumu var formulēt arī sekojoši:
Trijstūra leņķa bisektrise sadala pretējo malu nogriežņos, kas proporcionāli to attiecīgajām piemalām.
Ja dots trijstūris \(ABC\) un \(BD\) ir bisektrise, tad .
Pierādīsim šo īpašību, pielietojot sinusu teorēmu.
Apzīmē , , tad
Uzraksta sinusu teorēmu trijstūrim \(ABD:\)
Sinusu teorēma trijstūrim \(DBC:\)
No abām izteiksmēm izsaka :
Tā kā vienādību kreisās puses ir vienādas, tad vienādas ir arī to labās puses:
Abas vienādības puses var izdalīt ar .
Līdz ar to
jeb
Tas bija jāpierāda.
Šo proporciju var uzrakstīt vēl dažādos veidos, bet pieņemts vispirms rakstīt nogriežņu attiecību un tad malu attiecību.
Šo teorēmu var pierādīt arī citā veidā.
Piemērs:
Taisnleņķa trijstūrī šaurā leņķa bisektrise sadala pretējo kateti un garos nogriežņos. Aprēķini dotā trijstūra laukumu.
Dots: ,
Jāparēķina: \(S(ABC)\)
Risinājums
Taisnleņķa trijstūra laukums ir katešu reizinājuma puse.
Katete
Tātad mums ir jāaprēķina kateti \(AB\).
Zināms, ka
Tātad , izsakot hipotenūzu \(BC\), iegūst . (Izdevīgi izteikt hipotenūzu ar kateti, jo laukuma aprēķināšanai hipotenūzas garumu neizmantosim)
Tā kā esam ieguvuši vienu vienādojumu ar diviem nezināmiem, tad izvēlamies vēl vienu sakarību, kas pastāv starp taisnleņķa trijstūra malām - Pitagora teorēmu:
Esam ieguvuši nezināmās katetes garumu .
Trijstūra laukums ir .
Atbilde: Trijstūra laukums ir .
Izpildi patstāvīgi līdzīgu uzdevumu:
Taisnleņķa trijstūrī šaurā leņķa bisektrise sadala pretējo kateti 24 cm un 25 cm garos nogriežņos. Aprēķini katetes.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa