Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Par trijstūra bisektrisi sauc trijstūra leņķa bisektrises nogriezni, kas atrodas trijstūra iekšpusē.
Par leņķa bisektrisi sauc staru, kura sākumpunkts ir leņķa virsotnē un kurš sadala šo leņķi divās vienādās daļās.
Atkārto bisektrises konstrukciju.
Teorēma. Trijstūra iekšējā leņķa bisektrise sadala pretējo malu nogriežņos, kuru attiecība ir vienāda ar šī leņķa attiecīgo piemalu attiecību.
Šo likumu var formulēt arī sekojoši:
Trijstūra leņķa bisektrise sadala pretējo malu nogriežņos, kas proporcionāli to attiecīgajām piemalām.
YCUZD_221018_4543_Sbidektrīp.svg
Ja dots trijstūris \(ABC\) un \(BD\) ir bisektrise, tad ADDC=ABBC.
Pierādīsim šo īpašību, pielietojot sinusu teorēmu.
 YCUZD_221018_4550_Nogriežņi trijstūrī_1.svg
 
Apzīmē ABD=DBC=β, BDC=α, tad ADB=180°α
 
Uzraksta sinusu teorēmu trijstūrim \(ABD:\)
ADsinβ=ABsin(180°α)sin(180°α)=sinαADsinβ=ABsinα
Sinusu teorēma trijstūrim \(DBC:\)
CDsinβ=CBsinα
 
No abām izteiksmēm izsaka sinα:
sinα=ABsinβADsinα=CBsinβCD=
 
Tā kā vienādību kreisās puses ir vienādas, tad vienādas ir arī to labās puses:
ABsinβAD=CBsinβCD
 
Abas vienādības puses var izdalīt ar sinβ,sinβ0.
Līdz ar to
ABAD=CBCD
jeb
ADDC=ABBC
Tas bija jāpierāda.
 
Šo proporciju var uzrakstīt vēl dažādos veidos, bet pieņemts vispirms rakstīt nogriežņu attiecību un tad malu attiecību.
Šo teorēmu var pierādīt arī citā veidā.
Piemērs:
Taisnleņķa trijstūrī šaurā leņķa bisektrise sadala pretējo kateti 4cm un 5cm garos nogriežņos. Aprēķini dotā trijstūra laukumu.
 
Dots: AD=4cm, DC=5cm
Jāparēķina: \(S(ABC)\)
Risinājums
Taisnleņķa trijstūra laukums ir katešu reizinājuma puse.
 
Katete AC=4+5=9cm
Tātad mums ir jāaprēķina kateti \(AB\).
Zināms, ka ADDC=ABBC
Tātad 45=ABBC, izsakot hipotenūzu \(BC\), iegūst BC=5AB4. (Izdevīgi izteikt hipotenūzu ar kateti, jo laukuma aprēķināšanai hipotenūzas garumu neizmantosim)
 
Tā kā esam ieguvuši vienu vienādojumu ar diviem nezināmiem, tad izvēlamies vēl vienu sakarību, kas pastāv starp taisnleņķa trijstūra malām - Pitagora teorēmu:
BC2=AB2+AC25AB42=AB2+9225AB216=AB2+92|1625AB2=16AB2+16929AB2=1692|:9AB2=169AB=43AB=12
Esam ieguvuši nezināmās katetes garumu AB=12cm.
 
Trijstūra laukums ir S(ABC)=ACAB2=9122=54cm2.
  
Atbilde: Trijstūra laukums ir 54cm2.
Izpildi patstāvīgi līdzīgu uzdevumu:
Taisnleņķa trijstūrī šaurā leņķa bisektrise sadala pretējo kateti 24 cm un 25 cm garos nogriežņos. Aprēķini katetes.
  
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa