Matemātika II - jauna mācību tēma
"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"
Aplūkosim piemēru, kurā izmanto aksiālo simetriju un taisnes vienādojumu.
Piemērs:
Koordinātu plaknē doti punkti \(A(1;2)\) un \(B(4;5). \)
Konstruē
a) punktu \(M\) tā, lai lauztās līnijas \(AMB\) garums būtu vismazākais, ja \(M\) atrodas uz taisnes \(x=0;\)
b) punktu \(K\) tā, lai lauztās līnijas \(AKB\) garums būtu vismazākais, ja \(K\) atrodas uz taisnes \(y=0;\)
c) punktu \(D\) tā, lai lauztās līnijas \(ADB\) garums būtu vismazākais, ja \(D\) atrodas uz taisnes \(y=x.\)
 
Nosaki punktu \(M, K, D\) koordinātas.
Risinājums
Vispirms atkārtosim, ko mācījāmies 7. klasē.
Aplūkosim trīs punktus \(A\), \(B\) un \(C\)
Caur trim punktiem var novilkt lauztu līniju.
 
YCUZD_221229_4871_figura_2.svg
Noskaidrosim, kādā gadījumā lauztās līnijas \(ABC\) garums ir vismazākais?
 
Lauztās līnijas \(ABC\) garums ir visīsākais, ja visi trīs punkti atrodas uz vienas taisnes.
trīspunkti uz vienas.svg
Trīs punkti atrodas uz vienas taisnes, ja attālums starp diviem punktiem ir vienāds ar divu citu attālumu summu: AB+BC=AC.
Izmantosim šo īpašību dotajā uzdevumā.
Attēlojam dotos punktus koordinātu plaknē
  
YCUZD_020123_4868_4 (1).svg
 
a) Atradīsim punktu \(M\), ja tas atrodas uz \(Oy\) ass.
Veiksim papildus konstrukciju: atrod punktam \(B\) pret \(Oy\) asi simetrisku punktu B1.
Savienojot doto punktu \(A\) ar B1, iegūst krustpunktu ar \(Oy\) asi. Apzīmējam to ar \(M.\)
Ievēro, ka B1M+MA=B1A.
Tā kā B1M=BM, tad B1M+MA=BM+MA. Esam atraduši nogriezni \(BM\), ar kuru lauztās līnijas garums ir vismazākais.
YCUZD_020123_4868_1 (1).svg
 
Noteiksim punkta \(M\) koordinātas.
Izmantosim caur  punktiem \(A\) un B1 novilktas taisnes vienādojumu. Formulu var atrast matemātika I formulu lapā
xx1x2x1=yy1y2y1A1;2,B1(4;5)x141=y252x15=y23
Ieguvām taisnes AB1 kanonisko vienādojumu. Ja taisne krusto \(Oy\) asi, tad \(x=0.\)
015=y2315=y235y10=3y=135=235
Tātad punkta \(M\) koordinātas ir M0;235.
b) Līdzīgi rīkojamies, lai atrastu punktu \(K\).
Skat. konstrukciju.
YCUZD_020123_4868_3 (1).svg
 
Lai noteiktu punkta \(K\) koordinātas, atrodam taisnes \(AK\) vienādojumu:
A1;2,B1(4;5)x141=y252x13=y27y=0¯¯x13=027x13=277x=13x=137=167
Tātad meklētā punkta \(K\) koordinātas ir K(167;0).
c) Veicam iepriekšējo konstrukciju attiecībā pret taisni \(y=x.\)
YCUZD_020123_4868_2 (1).svg
 
Lai noteiktu punkta \(D\) koordinātas, taisnes \(AD\) vienādojumā ievieto \(y=x\).
A1;2,B1(5;4)x151=y242x14=y222(x1)=4(y2)|:2x1=2y4x=y¯¯y1=2y4y=3x=3
 
Tātad punkta \(D\) koordinātas ir \(D(3;3).\)
 
Uzdevumu var risināt arī citā veidā, izveidojot attāluma funkciju un nosakot tās ekstrēmus ar atvasinājumu.
 
Risinājuma ideja īsumā a) piemēram:
M(0;y),A(1;2)AM=012+y22M(0;y),B(4;5)MB=042+5y2f(y)=1+y22+16+5y2
 
Iegūto funkciju atvasina, pielietojot pakāpes atvasināšanas likumu un saliktas funkcijas atvasināšanas likumu
x=x12=12x12=22x
 
g(x)=12g(x)g(x)
 
Tātad
f(y)=2y221+y22+25y1216+5y2f(y)=0...
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa
Skola2030 kursu materiāli