Homotētija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Ģeometriskie pārveidojumi ir funkcijas, kas pēc noteikta likuma katram plaknes punktam piekārto tieši vienu noteiktu plaknes punktu.

Homotētija

Homotētija ar centru $O$ un koeficientu $k$ ir pārveidojums, kurā katrs punkts $P$ attēlojas par tādu punktu $P_1$, ka

\vec{O P_{1}} = k \cdot \vec{OP}

, kur

k \neq 0

Lai homotētija būtu definēta, jābūt uzdotam homotētijas centram $O$ un koeficientam $k$.

Homotētiju var pierakstīt šādi: homotētija $(O;k)$.

Homotētija ir pārveidojums, kurā iegūst līdzīgas figūras (figūras, kuru atbilstošie leņķi ir vienādi un malas ir proporcionālas). Homotētiskas figūras ir līdzīgas, bet līdzīgas figūras ne vienmēr ir homotētiskas (homotētijā ir svarīgs arī figūru novietojums).

Homotētiskām figūrām ir spēkā līdzīgu figūru perimetru attiecība

\frac{P_{1}}{P} = k

, kur $P$ ir perimetrs dotajai figūrai un

P_{1}

ir perimetrs ar homotētiju iegūtajai figūrai.

Homotētiskām figūrām ir spēkā līdzīgu figūru laukumu attiecības formula

\frac{S_{1}}{S} = k^{2}

, kur $S$ ir laukums dotajai figūrai un

S_{1}

ir laukums ar homotētiju iegūtajai figūrai.

Homotētijā konstrukcijas gaita ir atkarīga no koeficienta $k$ zīmes (negatīvs, pozitīvs).

Lai konstruētu punkta $P$ attēlu

P_{1}

homotētijā $(O;k)$, rīkojas šādi:

ja punkts $P$ sakrīt ar homotētijas centru $O$, tad punkts $P$ attēlojas sevī;
ja punkts $P$ nesakrīt ar homotētijas centru $O$, tad konstruē staru $OP$, ievērojot koeficienta $k$ zīmi.

Ja $k>0$, tad uz stara $OP$ atliek nogriezni

O P_{1} = k \cdot OP

(1. zīmējums)

Ja $k<0$, tad uz staram $PO$ pretēja stara atliek

O P_{1} = |k| \cdot OP

. Varētu teikt, ka figūra attēlojas homotētijas centram otrā pusē (2. zīmējums)

1. zīmējumā no figūras $F_1$ iegūta figūra $F_2$ ar homotētiju $(O;2)$. Homotētijas koeficients $k=2$ ($k>0$).

2. zīmējumā figūras iegūtas ar homotētiju $(O;-1)$ , tātad $k=-1$ ($k<0$).

Aplūkosim 3. zīmējumu.

Homotētijas centrs var atrasties arī figūras iekšpusē. Iekšējais trijstūris no trijstūra $ABC$ iegūts ar homotētiju

(O; \frac{1}{2})

Atšķirībā no homotētijas, ģeometriskos pārveidojumus - aksiālo simetriju, pagriezienu, paralēlo pārnesi sauc par pārvietojumiem, jo tajos figūra pārveidojas par figūru, kas vienmēr ir vienāda ar doto.

Interesanti: jebkuras divas riņķa līnijas ir homotētiskas.

Piemērs:

Fraktāļos var redzēt bezgalīgi daudz līdzīgu figūru, bet tās parasti nav homotētiskas, jo tām nevar noteikt homotētijas centru.

$Shutterstock_258273326_fractals_fraktāļi.jpg$