Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Ģeometriskie pārveidojumi ir funkcijas, kas pēc noteikta likuma katram plaknes punktam piekārto tieši vienu noteiktu plaknes punktu.
 
Homotētija
Homotētija ar centru \(O\) un koeficientu \(k\) ir pārveidojums, kurā katrs punkts \(P\) attēlojas par tādu punktu \(P_1\), ka OP1=kOP, kur k0.
Lai homotētija būtu definēta, jābūt uzdotam homotētijas centram \(O\) un koeficientam \(k\).
Homotētiju var pierakstīt šādi: homotētija \((O;k)\).
 
Homotētija ir pārveidojums, kurā iegūst līdzīgas figūras (figūras, kuru atbilstošie leņķi ir vienādi un malas ir proporcionālas). Homotētiskas figūras ir līdzīgas, bet līdzīgas figūras ne vienmēr ir homotētiskas (homotētijā ir svarīgs arī figūru novietojums).
Homotētiskām figūrām ir spēkā līdzīgu figūru perimetru attiecība P1P=k, kur \(P\)  ir perimetrs dotajai figūrai un P1 ir perimetrs ar homotētiju iegūtajai figūrai.
Homotētiskām figūrām ir spēkā līdzīgu figūru laukumu attiecības formula S1S=k2, kur \(S\)  ir laukums dotajai figūrai un S1 ir laukums ar homotētiju iegūtajai figūrai.
 
Homotētijā konstrukcijas gaita ir atkarīga no koeficienta \(k\) zīmes (negatīvs, pozitīvs).
 
Lai konstruētu punkta \(P\) attēlu P1 homotētijā \((O;k)\), rīkojas šādi:
  • ja punkts \(P\) sakrīt ar homotētijas centru \(O\), tad punkts \(P\) attēlojas sevī;
  • ja punkts \(P\) nesakrīt ar homotētijas centru \(O\), tad konstruē staru \(OP\), ievērojot koeficienta \(k\) zīmi.
Ja \(k>0\), tad uz stara \(OP\) atliek nogriezni OP1=kOP (1. zīmējums)
Ja \(k<0\), tad uz staram \(PO\) pretēja stara atliek OP1=kOP. Varētu teikt, ka figūra attēlojas homotētijas centram otrā pusē (2. zīmējums)
 
1. zīmējumā no figūras \(F_1\) iegūta figūra \(F_2\) ar homotētiju \((O;2)\). Homotētijas koeficients \(k=2\) (\(k>0\)).
Asset 24.svg
 
2. zīmējumā figūras iegūtas ar homotētiju \((O;-1)\) , tātad \(k=-1\) (\(k<0\)).
YCUZD_221025_4600_Homotētija_2.svg
 
Aplūkosim 3. zīmējumu.
Homotētijas centrs var atrasties arī figūras iekšpusē. Iekšējais trijstūris no trijstūra \(ABC\) iegūts ar homotētiju O;12.
YCUZD_221025_4600_Homotētija_3.svg
 
 
Atšķirībā no homotētijas, ģeometriskos pārveidojumus - aksiālo simetriju, pagriezienu, paralēlo pārnesi sauc par pārvietojumiem, jo tajos figūra pārveidojas par figūru, kas vienmēr ir vienāda ar doto.
 
Interesanti: jebkuras divas riņķa līnijas ir homotētiskas.
Piemērs:
Fraktāļos var redzēt bezgalīgi daudz līdzīgu figūru, bet tās parasti nav homotētiskas, jo tām nevar noteikt homotētijas centru.
 
Shutterstock_258273326_fractals_fraktāļi.jpg
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa