Četrstūra laukuma formula ar diagonālēm. Pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

S_{paral.} = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \sin β

, kur

d_{1}, d_{2}

ir diagonāles, diagonāles veido leņķi

β

Pierādīsim šo sakarību, izmantojot trijstūra laukuma formulu:

S_{Δ} = \frac{1}{2} ab \sin γ

, kur

γ

ir leņķis starp malām \(a\) un \(b\).

Paralelograma diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm. Paralelograma laukums ir četru trijstūru laukumu summa, kur trijstūri pa pāriem ir vienādi (pēc pazīmes mlm).

\begin{array}{l} S_{Δ DOC} = S_{Δ AOB} = \frac{1}{2} OD \cdot OC \cdot \sin β \\ S_{Δ BOC} = S_{Δ AOD} = \frac{1}{2} OB \cdot OC \cdot \sin (180 ° - β) \\ \sin (180 ° - β) = \sin β \\ OD = OB = \frac{d_{1}}{2} \\ OC = \frac{d_{2}}{2} \\ S_{Δ DOC} = S_{Δ AOB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_{1}}{2} \cdot \frac{d_{2}}{2} \cdot \sin β \\ S_{Δ BOC} = S_{Δ AOD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_{1}}{2} \cdot \frac{d_{2}}{2} \cdot \sin β \end{array}

Ievērojam, ka visu četru trijstūru laukumi ir vienādi.

Saskaitot visu četru trijstūru laukumus (vai pareizinot vienu laukumu ar 4), iegūst paralelograma laukumu:

\begin{array}{l} S_{ABCD} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d_{1}}{2} \cdot \frac{d_{2}}{2} \cdot \sin β \\ S_{ABCD} = \frac{4 \cdot d_{1} \cdot d_{2}}{2 \cdot 2 \cdot 2} \cdot \sin β \\ S_{ABCD} = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \cdot \sin β \end{array}

Laukuma formula ar diagonālēm ir spēkā jebkuram izliektam četrstūrim

S = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2} \sin β

, kur

d_{1}, d_{2}

ir diagonāles, diagonāles veido leņķi

β

Pierādījums ir līdzīgs iepriekšējam.

Patvaļīgam četrstūrim diagonāles krustpunktā nedalās uz pusēm. Tāpēc diagonāļu nogriežņus apzīmēsim ar \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), kur

d_{1} = a + c, d_{2} = b + d

Uzrakstām četrstūra laukumu kā četru trijstūru laukumu summu, izmantojam, ka

\sin (180 ° - β) = \sin β

\begin{array}{l} S = \frac{1}{2} \sin β \cdot (ab + bc + cd + da) \\ S = \frac{1}{2} \sin β \cdot (a (b + d) + c (b + d)) \\ S = \frac{1}{2} \sin β \cdot (a + c) (b + d) \\ S = \frac{1}{2} d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin β \end{array}

Tas bija jāpierāda.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

5. Četrstūra laukuma formula ar diagonālēm. Pierādījums

Teorija