R un r regulārā n-stūrī. Pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Par regulāru daudzstūri sauc daudzstūri, kura visas malas ir vienādas un visi leņķi ir vienādi.

(Ievēro, piemēram, rombs nav regulārs daudzstūris, jo tam ir vienādas malas, bet nav vienādi leņķi).

Katrā regulārā daudzstūrī var ievilkt riņķa līniju un ap katru regulāru daudzstūri var apvilkt riņķa līniju. Abu riņķa līniju centri atrodas vienā un tajā pašā punktā, ko sauc arī par regulārā daudzstūra centru.

Zīmējumā dots regulārs sešstūris, kura centrs ir $O$, ievilktās riņķa līnijas rādiuss $r=$$OA$ un apvilktās riņķa līnijas rādiuss $R=OC$.

Regulārā daudzstūrī ievilktās riņķa līnijas rādiusu aprēķina pēc formulas:

r = \frac{a}{2 tg \frac{180 °}{n}}

, kur $a$ ir regulārā daudzstūra malas garums, bet $n$ ir malu (virsotņu) skaits.

Ap regulāru daudzstūri apvilktās riņķa līnijas rādiusu aprēķina pēc formulas:

R = \frac{a}{2 \sin \frac{180 °}{n}}

, kur $a$ ir regulārā daudzstūra malas garums, bet $n$ ir malu (virsotņu) skaits.

Šīs formulas nav dotas eksāmena formulu lapā, bet tās ir viegli iegūt, izmantojot sakarības taisnleņķa trijstūrī.

Regulāru $n$-stūri var sadalīt $n$ vienādos vienādsānu trijstūros. Šo trijstūru sānu malas ir apvilktas riņķa līnijas rādiuss $R$, bet šo trijstūru augstums pret pamatu ir ievilktas riņķa līnijas rādiuss $r$.

Katra trijstūra virsotnes leņķis ir centra leņķis, kura lielums ir

\frac{360 °}{n}

Aplūkosim vienu no šādiem trijstūriem dotajā attēlā -

Δ COH

Novelkot augstumu $OA$ (tā ir arī mediāna un bisektrise), iegūst taisnleņķa trijstūri $AOC$. Šī trijstūra šaurais leņķis ir

∢ AOC = \frac{360 °}{n} : 2 = \frac{180 °}{n}

un katete

AC = \frac{a}{2}

, kur $a$ ir regulārā daudzstūra mala.

Ievilktās riņķa līnijas rādiuss ir šī trijstūra katete, tāpēc to izsaka ar tangensu, bet apvilktās riņķa līnijas rādiuss ir hipotenūza, tāpēc to izsaka ar sinusu taisnleņķa trijstūrī $AOC.$

\begin{array}{l} tg ∢ AOC = \frac{AC}{OA} \\ tg \frac{180 °}{n} = \frac{\frac{a}{2}}{OA} \\ OA = \frac{a}{2} : tg \frac{180 °}{n} \\ r = OA = \frac{a}{2 tg \frac{180 °}{n}} \end{array}

Esam ieguvuši ievilktās riņķa līnijas rādiusu.

\begin{array}{l} \sin ∢ AOC = \frac{AC}{OC} \\ \sin \frac{180 °}{n} = \frac{\frac{a}{2}}{OC} \\ OC = \frac{a}{2} : \sin \frac{180 °}{n} \\ R = OC = \frac{a}{2 \sin \frac{180 °}{n}} \end{array}

Esam ieguvuši apvilktās riņķa līnijas rādiusu.

Regulāram trijstūrim, četrstūrim un sešstūrim $R$ un $r$ parasti rēķina vienkāršāk, neizmantojot dotās formulas.

Figūra	Apvilktās riņķa līnijas rādiuss	Ievilktās riņķa līnijas rādiuss
Regulārs trijstūris	$R = \frac{a \sqrt{3}}{3}$	$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$
Regulārs četrstūris (kvadrāts)	$R = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ diagonāles puse	$r = \frac{a}{2}$ malas puse
Regulārs sešstūris	$R= a$	$r = h_{reg . Δ} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ regulāra trijstūra augstums

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

7. R un r regulārā n-stūrī. Pierādījums

Teorija