Formulas r=S/p pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Riņķa līniju ievilkt jebkurā trijstūrī.

Trijstūrī ievilktas riņķa līnijas centrs ir bisektrišu krustpunkts.

Pierādi, ka trijstūrī ievilktas riņķa līnijas rādiusu aprēķina pēc formulas

r = \frac{S_{Δ}}{p}

, kur \(S\) - trijstūra laukums, \(p\) - pusperimetrs.

Sakarību pierādīsim, aprēķinot dotā trijstūra laukumu kā triju trijstūru laukumu summu.

Dots: \(a,b,c\) - trijstūra \(ABC\) malas, \(O\) - trijstūrī ievilktās riņķa līnijas centrs, \(r\) - rādiuss, \(p\) - pusperimetrs.

Jāpierāda:

r = \frac{S_{Δ}}{p}

Pierādījums

YCUZD_221019_4567_Pierādījumi planimetrijā_S=pr.svg

Trijstūri \(ABC\) sadala trijos trijstūros:

Δ AOB, Δ BOC, Δ COA

Šajos trijstūros no virsotnes \(O\) attiecīgi pret malām \(AB\), \(BC\) un \(CA\) ir novilkti augstumi, kas ir vienādi ar ievilktās riņķa līnijas rādiusu \(r\).

Katram no trijstūriem var aprēķināt laukumu, izmantojot formulu

S_{Δ} = \frac{1}{2} a h_{a}

\begin{array}{l} S_{Δ AOB} = \frac{1}{2} r \cdot c \\ S_{Δ BOC} = \frac{1}{2} r \cdot a \\ S_{Δ COA} = \frac{1}{2} r \cdot b \end{array}

Saskaitot šo trijstūru laukumus, iegūst trijstūra \(ABC\) laukumu:

\begin{array}{l} S_{Δ ABC} = \frac{1}{2} r \cdot a + \frac{1}{2} r \cdot b + \frac{1}{2} r \cdot c \\ S_{Δ ABC} = r (\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c) \\ S_{Δ ABC} = r \cdot \frac{a + b + c}{2} \\ S_{Δ} = r \cdot p \end{array}

Tātad trijstūrī ievilktas riņķa līnijas rādiusu var aprēķināt ar formulu

r = \frac{S_{Δ}}{p}

Tas bija jāpierāda.

Iegūtā sakarība ir spēkā arī četrstūriem.

Četrstūrī ievilktas riņķa līnijas rādiusu aprēķina četrstūra laukumu dalot ar pusperimetru

r = \frac{S}{p}

Pamēģini pierādīt!

Formulas

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

16. Formulas r=S/p pierādījums

Teorija