Apvilktas riņķa līnijas R formulas pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Trijstūrim apvilktās riņķa līnijas rādiusu var aprēķināt pēc formulas

R = \frac{abc}{4 S_{Δ}}

Šī formula ir secinājums no sinusu teorēmas.

Sinusu teorēma:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R

Izvēlamies apvilktās riņķa līnijas rādiusa sakarību:

\frac{a}{\sin A} = 2 R

Izteiksim no šīs sakarības nevis $R$, bet

\sin A

\sin A = \frac{a}{2 R}

Ievietosim šo sakarību trijstūra laukuma aprēķināšanas formulā:

S_{Δ} = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin A

Iegūst

\begin{array}{l} S_{Δ} = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \frac{a}{2 R} \\ S_{Δ} = \frac{b \cdot c \cdot a}{2 \cdot 2 R} \\ S_{Δ} = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 R} \end{array}

Izsakot no šīs sakarības $R$, iegūst:

R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 S_{Δ}}

Tas bija jāpierāda.

Šo formulu izdevīgi pielietot tad, kad ir zināmas visas trijstūra malas.

Piemērs:

Aprēķini apvilktas riņķa līnijas rādiusu trijstūrim, kura malas ir $6 cm$ , $25 cm$ un $29 cm$ .

Risinājums

R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 S_{Δ}}

Ar Hērona formulu aprēķina trijstūra laukumu:

\begin{array}{l} S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \\ p = \frac{6 + 25 + 29}{2} = 30 (cm) \\ S_{Δ} = \sqrt{30 (30 - 6) (30 - 25) (30 - 29)} \\ S_{Δ} = 60 ({cm}^{2}) \end{array}

Tātad apvilktas riņķa līnijas rādiuss ir:

R = \frac{6 \cdot 25 \cdot 29}{4 \cdot 60} = 18,125 (cm)

Eksāmenā drīkst lietot kalkulatoru, taču esi uzmanīgs.

Ja uzdevumā nav dota vēlamā precizitāte un dalīšanā iegūst bezgalīgu decimāldaļu, tad atbilde ir jāizsaka kā saīsināta daļa.

Šajā gadījumā $R$ vērtība ir galīga decimāldaļa, tāpēc drīkst izpildīt dalīšanu.

Piemēram, ja trijstūra malas ir

15 cm

28 cm

41 cm

, tad

R = \frac{15 \cdot 28 \cdot 41}{4 \cdot 126} = \frac{15 \cdot 7 \cdot 41}{126} = \frac{4305}{126} = 34 \frac{21}{126} = 34 \frac{1}{6} (cm)

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

15. Apvilktas riņķa līnijas R formulas pierādījums