PIRMĀ SEMESTRA NOSLĒGUMA TESTI

17. Trijstūrim apvilkta un ievilkta riņķa līnija. Kopsavilkums

Riņķa līniju var apvilkt ap jebkuru trijstūri.

Trijstūrim apvilktas riņķa līnijas centrs ir trijstūra malu vidusperpendikulu krustpunkts.

Patvaļīgam trijstūrim apvilkta riņķa līnija

1) Šaurleņķa trijstūris. Apvilktas riņķa līnijas centrs atrodas trijstūra iekšpusē.

2) Platleņķa trijstūris. Apvilktas riņķa līnijas centrs atrodas trijstūra ārpusē.

Patvaļīgam trijstūrim apvilktas riņķa līnijas rādiuss:

R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot S_{Δ}}

R = \frac{a}{2 \sin α}

α

ir malas \(a\) pretleņķis

(sinusu teorēmas secinājums)

Taisnleņķa trjstūrim apvilkta riņķa līnija

Taisnleņķa trijstūrim apvilktas riņķa līnijas centrs atrodas hipotenūzas viduspunktā.

Taisnleņķa trijstūrim apvilktas riņķa līnijas rādiuss

R = \frac{c}{2}

, kur \(c\) - hipotenūza.

Riņķa līnijā ievilkts regulārs trijstūris

Regulāram trijstūrim apvilktas riņķa līnijas centrs atrodas trijstūra centrā (bisektrišu, mediānu, augstumu krustpunkts).

Regulāram trijstūrim apvilktas riņķa līnijas rādiuss

R = \frac{2}{3} h

, kur \(h\) ir trijstūra augstums.

R = \frac{a \sqrt{3}}{3}

, ja dota mala \(a\).

Vienādmalu trijstūrī ievilktas riņķa līnijas rādiuss

r = \frac{R}{2}

, kur \(R\) - apvilktās riņķa līnijas rādiuss.

r = \frac{1}{3} h

, kur \(h\) ir trijstūra augstums.

r = \frac{a \sqrt{3}}{6}

, ja dota mala \(a\).

Jebkuram trijstūrim ievilktas riņķa līnijas rādiusu var aprēķināt pēc formulas

r = \frac{S_{Δ}}{p}

, kur \(p\) - pusperimetrs.

Ievēro, patvaļīga trijstūra \(R\) un \(r\) sakarības ir dotas matemātika II formulu lapā, taču rādiuss pašam jāizsaka.

\begin{array}{l} S_{Δ} = \frac{abc}{4 R} \Rightarrow R = \frac{abc}{4 S_{Δ}} \\ S_{Δ} = p \cdot r \Rightarrow r = \frac{S_{Δ}}{p} \end{array}

Taisnleņķa trijstūrī riņķa līnija pieskaršanās punktos sadala malas sekojoši:

\(BK=BM\), \(AT=AM\), \(CT=CK=KO=TO=r.\)

Taisnleņķa trijstūrim ir "sava" ievilktās riņķa rādiusa aprēķināšanas formula

r = \frac{a + b - c}{2}

, kur \(a\), \(b\) ir katetes, bet \(c\) - hipotenūza.

Taču šī formula nav formulu lapās un nav arī obligāti jāzina.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"