Trijstūra bisektrises īpašība. Pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Par trijstūra bisektrisi sauc trijstūra leņķa bisektrises nogriezni, kas atrodas trijstūra iekšpusē.

Par leņķa bisektrisi sauc staru, kura sākumpunkts ir leņķa virsotnē un kurš sadala šo leņķi divās vienādās daļās.

Atkārto bisektrises konstrukciju.

Teorēma. Trijstūra iekšējā leņķa bisektrise sadala pretējo malu nogriežņos, kuru attiecība ir vienāda ar šī leņķa attiecīgo piemalu attiecību.

Šo likumu var formulēt arī sekojoši:

Trijstūra leņķa bisektrise sadala pretējo malu nogriežņos, kas proporcionāli to attiecīgajām piemalām.

Ja dots trijstūris $ABC$ un $BD$ ir bisektrise, tad

\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}

Pierādīsim šo īpašību, pielietojot sinusu teorēmu.

YCUZD_221018_4550_Nogriežņi trijstūrī_1.svg

Apzīmē

∢ ABD = ∢ DBC = β

∢ BDC = α

, tad

∢ ADB = 180 ° - α

Uzraksta sinusu teorēmu trijstūrim $ABD:$

\begin{array}{l} \frac{AD}{\sin β} = \frac{AB}{\sin (180 ° - α)} \\ \sin (180 ° - α) = \sin α \\ \frac{AD}{\sin β} = \frac{AB}{\sin α} \end{array}

Sinusu teorēma trijstūrim $DBC:$

\frac{CD}{\sin β} = \frac{CB}{\sin α}

No abām izteiksmēm izsaka

\sin α

\begin{array}{l} \sin α = \frac{AB \cdot \sin β}{AD} \\ \sin α = \frac{CB \cdot \sin β}{CD} \end{array}| =

Tā kā vienādību kreisās puses ir vienādas, tad vienādas ir arī to labās puses:

\frac{AB \cdot \sin β}{AD} = \frac{CB \cdot \sin β}{CD}

Abas vienādības puses var izdalīt ar

\sin β, \sin β \neq 0

Līdz ar to

\frac{AB}{AD} = \frac{CB}{CD}

jeb

\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}

Tas bija jāpierāda.

Šo proporciju var uzrakstīt vēl dažādos veidos, bet pieņemts vispirms rakstīt nogriežņu attiecību un tad malu attiecību.

Šo teorēmu var pierādīt arī citā veidā.

Piemērs:

Taisnleņķa trijstūrī šaurā leņķa bisektrise sadala pretējo kateti $4 cm$ un $5 cm$ garos nogriežņos. Aprēķini dotā trijstūra laukumu.

Dots:

AD = 4 cm

DC = 5 cm

Jāparēķina: $S(ABC)$

Risinājums

Taisnleņķa trijstūra laukums ir katešu reizinājuma puse.

Katete

AC = 4 + 5 = 9 (cm)

Tātad mums ir jāaprēķina kateti $AB$.

Zināms, ka

\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}

Tātad

\frac{4}{5} = \frac{AB}{BC}

, izsakot hipotenūzu $BC$, iegūst

BC = \frac{5 \cdot AB}{4}

. (Izdevīgi izteikt hipotenūzu ar kateti, jo laukuma aprēķināšanai hipotenūzas garumu neizmantosim)

Tā kā esam ieguvuši vienu vienādojumu ar diviem nezināmiem, tad izvēlamies vēl vienu sakarību, kas pastāv starp taisnleņķa trijstūra malām - Pitagora teorēmu:

\begin{array}{l} {BC}^{2} = {AB}^{2} + {AC}^{2} \\ {(\frac{5 \cdot AB}{4})}^{2} = {AB}^{2} + 9^{2} \\ \frac{25 {\cdot AB}^{2}}{16} = {AB}^{2} + 9^{2} | \cdot 16 \\ 25 {\cdot AB}^{2} = 16 {\cdot AB}^{2} + 16 \cdot 9^{2} \\ 9 {\cdot AB}^{2} = 16 \cdot 9^{2} | : 9 \\ {AB}^{2} = 16 \cdot 9 \\ AB = 4 \cdot 3 \\ AB = 12 \end{array}

Esam ieguvuši nezināmās katetes garumu

AB = 12 cm

Trijstūra laukums ir

S (ABC) = \frac{AC \cdot AB}{2} = \frac{9 \cdot 12}{2} = 54 ({cm}^{2})

Atbilde: Trijstūra laukums ir

54 {cm}^{2}

Izpildi patstāvīgi līdzīgu uzdevumu:

Taisnleņķa trijstūrī šaurā leņķa bisektrise sadala pretējo kateti 24 cm un 25 cm garos nogriežņos. Aprēķini katetes.

Formulas

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

11. Trijstūra bisektrises īpašība. Pierādījums

Teorija