10. Hērona formulas pierādījums

Uzdevums matemātikas entuziastiem
 
Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par *Hērona formulu.
trijstar mazajiem burtiem.svg
Ja \(a\), \(b\) un \(c\) ir trijstūra malas, tad laukums SΔ=pp−ap−bp−c, kur p=a+b+c2 - pusperimetrs.
Pierādīsim šo formulu.
Pierādījumā izmantosim jau zināmo laukuma formulu SΔ=12absinγ un kosinusu teorēmu.
  
Dots:  \(a\), \(b\) un \(c\) ir trijstūra malas, malas \(a\) un \(b\) veido leņķi γ.
Jāpierāda: SΔ=pp−ap−bp−c, kur p=a+b+c2 - pusperimetrs.
  
Pierādījums
Pēc kosinusu teorēmas
c2=a2+b2−2abcosγcosγ=a2+b2−c22ab
 
Izmantojam trigonometrisko pamatidentitāti sin2γ+cos2γ=1.
Izsaka sin2γ=1−cos2γ=1−cosγ1+cosγ.
 
sin2γ=1−a2+b2−c22ab1+a2+b2−c22absin2γ=2ab−a2−b2+c22ab2ab+a2+b2−c22absin2γ=c2−a2−2ab+b22aba2+2ab+b2−c22absin2γ=c2−a−b22aba+b2−c22ab
 
Vēlreiz lietojam kvadrātu starpības formulu x2−y2=x−yx+y
 
sin2γ=c−a−bc+a−b2aba+b−ca+b+c2absin2γ=c−a+bc+a−b2aba+b−ca+b+c2absin2γ=14a2b2c−a+bc+a−ba+b−ca+b+c
 
Mums ir zināms, ka malu summa ir perimetrs vai divi pusperimetri: a+b+c=2p.
Tas nozīmē, ka
c−a+b=c−a+b−a+a=2p−2ac+a−b=c+a−b−b+b=2p−2ba+b−c=a+b−c−c+c=2p−2c
 
 
sin2γ=14a2b22p−2c2p−2b2p−2a2psin2γ=2⋅2⋅2⋅24a2b2p−cp−bp−apsin2γ=4a2b2p−cp−bp−apsinγ=4a2b2p−cp−bp−apsinγ=2a⋅bp−cp−bp−ap
 
Ievietojam iegūto sinusa izteiksmi trijstūra laukuma formulā:
SΔ=12absinγSΔ=12ab⋅2a⋅bp−cp−bp−apSΔ=p−cp−bp−ap
 
jeb SΔ=pp−ap−bp−c.
Tas bija jāpierāda
 
 
*Interesanti: sengrieķu matemātiķis un mehāniķis Hērons dzīvojis 1. gadsimtā. Hērona darbiem lietišķajā matemātikā ir enciklopēdiska nozīme: vairākas viņa radītās mehāniskās un automātiskās ierīces ietekmējušas Eiropas zinātnes attīstību līdz pat renesanses laikmetam.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa  
Iepriekšējā teorija
Atgriezties tēmā
Nākamā teorija
Copyright © 2024 SIA Uzdevumi.lv Kontakti Lietošanas noteikumi Privātuma politika Sīkdatņu iestatījumi