Trijstūra laukuma formulas. Hērona formula — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Jau no pamatskolas kursa ir zināmas trijstūra laukuma formulas.

Patvaļīga trijstūra laukuma formulas

S_{Δ} = \frac{ab \sin γ}{2}

, kur $a$ un $b$ ir trijstūra malas,

γ

ir leņķis, ko veido $a$ un $b$,

S_{Δ} = \frac{a h_{a}}{2}

, kur

h_{a}

- augstums, kas vilkts pret malu $a$.

Piemērs:

Ievēro, ka laukuma formulā ar augstumu svarīga ir pareiza augstuma un malas izvēle!

\begin{array}{l} S (ABC) = \frac{AC \cdot BN}{2} \\ S (ABC) = \frac{BC \cdot AK}{2} \end{array}

Taisnleņķa trijstūra laukuma formulas

S = \frac{a \cdot b}{2}

, kur $a$ un $b$ ir katetes. Formulu viegli iegūt no taisnstūra laukuma $S=ab.$

Dažreiz taisnleņķa trijstūrim izdevīgi lietot laukuma formulu ar augstumu:

S_{t . Δ} = \frac{c \cdot h_{c}}{2}

Vienādmalu (regulāra) trijstūra laukuma formula

S_{reg} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

, kur $a$ ir malas garums.

Formulu viegli iegūt no laukuma formulas ar sinusu:

S_{reg} = \frac{a \cdot a \cdot \sin 60 °}{2} = \frac{a^{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2}

Trijstūra laukumu var aprēķināt arī tad, ja doti visu trīs malu garumi.

Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par Hērona formulu.

Ja $a$, $b$ un $c$ ir trijstūra malas, tad laukums

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

, kur

p = \frac{a + b + c}{2}

- pusperimetrs.

Hērona formulu lieto tad, kad dotas visas trīs trijstūra malas.

Piemērs:

Aprēķini laukumu trijstūrim, kura malu garumi ir $17$ cm, $39$ cm, $44$ cm.

Risinājums:

\begin{array}{l} p = \frac{17 + 39 + 44}{2} = 50 \\ S_{Δ} = \sqrt{50 \cdot (50 - 17) \cdot (50 - 39) \cdot (50 - 44)} = \\ = \sqrt{50 \cdot 33 \cdot 11 \cdot 6} = \\ = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3} = \\ = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = \\ = 330 ({cm}^{2}) \end{array}

Lai viegli izvilktu sakni no reizinājuma, nevajag visus skaitļus sareizināt, bet tieši pretēji - vajag tos sadalīt reizinātājos. Atceries:

\sqrt{a \cdot a} = a

Atbilde: Trijstūra laukums ir

330 {cm}^{2}

Izmantojot divas laukuma formulas, sastādot vienādojumu, var aprēķināt trijstūra elementus - malas, leņķus vai augstumu.

Piemērs:

Aprēķini trijstūra īsāko augstumu, ja tā malas ir $15 cm$ , $13 cm$ , $4 cm$ .

Risinājums:

Lieto laukuma formulas:

S_{Δ} = \frac{a h_{a}}{2}

S_{Δ} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}

Izmanto faktu, ka trijstūrī īsākais ir tas augstums, kas vilkts pret garāko malu, tātad

a = 15 cm

S_{Δ} = \sqrt{16 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 12} = 24 ({cm}^{2})

Sastāda vienādojumu:

\begin{array}{l} \frac{15 \cdot h}{2} = 24 | \cdot 2 \\ 15 \cdot h = 48 \\ h = \frac{48}{15} = 3,2 (cm) \end{array}

Atbilde: Trijstūra īsākais augstums ir

3, 2 cm

Hērona formulu var lietot paralelograma laukuma aprēķināšanai, ja dotas tā malas un diagonāle.

Piemērs:

Dots paralelograms ar malu garumiem $17 cm$ un $39 cm$ , diagonāles garums ir $44 cm$ . Aprēķini paralelograma laukumu.

Risinājums:

Diagonāle paralelogramu sadala divos vienādos trijstūros. Izmantosim 1. piemērā iegūto rezultātu

S_{par .} = 2 \cdot S_{Δ} = 2 \cdot 330 = 660 ({cm}^{2})

Atbilde: Paralelograma laukums ir

660 {cm}^{2}

Aplūko laukuma formulas matemātikas eksāmena uzziņu lapās.

Tālāk iepazīsties ar Hērona formulas pierādījumu.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

9. Trijstūra laukuma formulas. Hērona formula

Teorija