Eiklīda teorēma taisnleņķa trijstūrī. Pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Ko nozīmē vidējais proporcionālais?

Ja starp nogriežņiem \(x\), \(y\), \(z\) pastāv sakarība

\frac{x}{y} = \frac{y}{z}

, tad saka, ka \(y\) ir vidējais proporcionālais jeb vidējais ģeometriskais. Sakarību var uzrakstīt arī šādi:

\begin{array}{l} y^{2} = x \cdot z \\ y = \sqrt{x \cdot z} \end{array}

Taisnleņķa trijstūrī ir spēkā teorēmas, ko sauc arī par Eiklīda teorēmām.

Taisnleņķa trijstūrī katete ir vidējais proporcionālais starp hipotenūzu un šis katetes projekciju uz hipotenūzas.

Taisnleņķa trijstūra augstums, kas vilkts pret hipotenūzu, ir vidējais proporcionālais nogrieznis starp katešu projekcijām uz hipotenūzas.

Pierādīsim šīs teorēmas.

Dots: Taisnleņķa trijstūris \(ABC\).

h_{c}

- augstums, kas novilkts pret hipotenūzu,

a_{c}

- katetes \(a\) projekcija uz hipotenūzu \(c\),

b_{c}

- katetes \(b\) projekcija uz hipotenūzu \(c\).

Jāpierāda:

\begin{array}{l} a^{2} = c \cdot a_{c} \\ b^{2} = c \cdot b_{c} \\ h^{2} = a_{c} \cdot b_{c} \end{array}

Pierādījums

Izmanto trijstūru līdzību.

Ja taisnleņķa trijstūrī ir novilkts augstums, trijstūri \(ABC\), \(CBD\) un \(ACD\) ir līdzīgi.

Δ CBD \sim Δ ABC,

jo abiem trijstūriem ir viens kopīgs leņķis

∢ B

∢ BDC = ∢ BCA = 90 °

Δ ACD \sim Δ ABC,

jo abiem trijstūriem ir kopīgs leņķis

∢ A

∢ ADC = ∢ BCA = 90 °

Tāpēc spēkā ir šādas attiecības

\frac{a_{c}}{a} = \frac{a}{c}

jeb

a^{2} = c \cdot a_{c}

, kas nozīmē, ka

a = \sqrt{c \cdot a_{c}}

\frac{b_{c}}{b} = \frac{b}{c}

jeb

b^{2} = c \cdot b_{c}

, kas nozīmē, ka

b = \sqrt{c \cdot b_{c}}

Tā kā

Δ ACD \sim Δ CBD

, tad

\frac{b_{c}}{h_{c}} = \frac{h_{c}}{a_{c}}

jeb

h_{c}^{2} = a_{c} \cdot b_{c}

, kas nozīmē, ka

h = \sqrt{a_{c} \cdot b_{c}}

Secinājums

Taisnleņķa trijstūrī katešu kvadrāti attiecas tāpat kā šo katešu atbilstošās projekcijas uz hipotenūzas.

Izdalām sakarības

a^{2} = c \cdot a_{c}

b^{2} = c \cdot b_{c}

\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{c \cdot a_{c}}{c \cdot b_{c}}

tātad

\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{a_{c}}{b_{c}}

Piemērs:

Aprēķini taisnleņķa trijstūra katešu attiecību, ja katešu projekcijas attiecas kā

9 : 25

Risinājums

Tā kā

\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{a_{c}}{b_{c}}

, tad

\begin{array}{l} \frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{9}{25} \\ \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{\frac{9}{25}} \\ |\frac{a}{b}| = \frac{3}{5} \\ \frac{a}{b} = \pm \frac{3}{5} \\ \frac{a}{b} = \frac{3}{5}, \end{array}

jo nogriežņu garumi ir nenegatīvi skaitļi.

Atbilde: katešu attiecība ir

3 : 5

Formulas ir dotas matemātika II formulu lapā

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

8. Eiklīda teorēma taisnleņķa trijstūrī. Pierādījums