Sinusu teorēmas pierādījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Sinusu teorēma. Trijstūru malas ir proporcionālas to pretleņķu sinusiem:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Pierādīsim šo teorēmu.

Dots: Trijstūris \(ABC\), \(a, b, c\) - trijstūra atbilstošās malas;

α, β, γ

- malu pretleņķi.

Jāpierāda:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Pierādījums

Pierādījumā izmanto trijstūra laukuma formulas.

Trijstūra laukums ir malas un pret to vilktā augstuma reizinājuma puse.

Trijstūra laukums ir puse no malu reizinājuma ar sinusu leņķim starp šīm malām.

Novelkam trijstūra augstumu. Šajā gadījumā ir uzzīmēts platleņķa trijstūris, tāpēc tā augstums \(h\) atrodas uz malas \(b\) pagarinājuma.

S_{ABC} = \frac{1}{2} b \cdot h

Tā kā trijstūris \(ABD\) ir taisnleņķa, tad sinusu var izteikt kā pretkatetes un hipotenūzas attiecību:

\begin{array}{l} \sin α = \frac{h}{c} \\ h = c \cdot \sin α \end{array}

Un sekojoši

S = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin α

(1)

Analogi

S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin β

(2)

No vienādībām (1) un (2) seko, ka

\begin{array}{l} \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin α = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin β | \cdot 2 : c, c \neq 0 \\ b \cdot \sin α = a \cdot \sin β | : \sin β : \sin α \\ \frac{b}{\sin β} = \frac{a}{\sin α} \end{array}

Ir spēkā arī trijstūra laukuma formula

S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin γ

(3).

No vienādībām (2) un (3) seko, ka

\begin{array}{l} \frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin β = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin γ | \cdot 2 : a, a \neq 0 \\ c \cdot \sin β = b \cdot \sin γ | : \sin β : \sin γ \\ \frac{c}{\sin γ} = \frac{b}{\sin β} \end{array}

Apvienojam abas iegūtās vienādības:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

kas bija jāpierāda.

Piezīme. Pierādījumā var uzreiz izmantot trjstūra laukuma formulu ar sinusu, neizmantojot augstumu.

Matemātika I eksāmena formulu lapā šī formula ir dota.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

7. Sinusu teorēmas pierādījums