Maksimālais četrstūra laukums. Kvadrātfunkcija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Kompleksa matemātiska problēma

Piemērs:

Izliekta četrstūra diagonāļu garumu summa ir \(a\). Nosaki lielāko iespējamo šī četrstūra laukumu.

Risinājumā izmanto četrstūra diagonāļu laukuma formulu

S = \frac{1}{2} d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin β

, kur

β

ir leņķis starp diagonālēm. Šī formula ir spēkā jebkuram izliektam četrstūrim.

Pēc dotā

\begin{array}{l} d_{1} + d_{2} = a \\ d_{2} = a - d_{1} \end{array}

Vislielākais laukums ir tad, kad ir vislielākā sinusa vērtība:

\sin 90 ° = 1

Tad laukums ir

\begin{array}{l} S = \frac{1}{2} d_{1} (a - d_{1}) \\ S = \frac{1}{2} d_{1} a - \frac{1}{2} d_{1}^{2} \end{array}

Var ievērot, ka laukums ir kvadrātfunkcija attiecībā uz

d_{1}

\begin{array}{l} S = - \frac{1}{2} d_{1}^{2} + \frac{1}{2} a \cdot d_{1} \\ S = - 0,5 d_{1}^{2} + 0,5 a \cdot d_{1} \end{array}

Kvadrātfunkcijas grafika - parabolas zari ir uz leju.

Kā zināms, kvadrātfunkcija savu lielāko vērtību sasniedz parabolas virsotnē.

Nosakām virsotnes abscisu.

\begin{array}{l} x_{0} = \frac{- b}{2 a} \\ {(d_{1})}_{0} = \frac{- 0,5 a}{2 \cdot (- 0,5)} = 0,5 a \end{array}

Secinām, ka laukums sasniedz maksimālo vērtību, ja diagonāles ir vienāda garuma.

Tātad četrstūri ar lielāko iespējamo laukumu, ir tādi, kuriem diagonāles ir perpendikulāras un vienāda garuma.

Aprēķinām lielāko iespējamo laukumu:

S_{\max} = \frac{1}{2} 0,5 a \cdot 0,5 a = 0,125 a^{2}

Kas šie ir par četrstūriem?

Kvadrāts, taisnstūris, romboīds un citi četrstūri, kas izpilda šo nosacījumu. Mēģinām uzzīmēt vismaz piecus dažādus četrstūrus.

Ievēro, ka uz šiem četrstūriem neattiecas nosacījums, ka diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

SKOLa2030 kursu materiāli

Atradi kļūdu?

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

3. Maksimālais četrstūra laukums. Kvadrātfunkcija