Ap piramīdu apvilkta lode (nav eksāmenā) — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

Atkārtosim, ko zinām par apvilktu lodi.

Lodi var apvilkt ap jebkuru cilindru.

Lodi var apvilkt ap jebkuru konusu, pie tam lodes centrs var atrasties arī ārpus konusa.

Lodi var apvilkt tikai ap tādu taisnu prizmu, ap kuras pamatu var apvilkt riņķa līniju.

Teorēma. Lodi var apvilkt ap piramīdu tad, ja ap tās pamatu var apvilkt riņķa līniju.

No teorēmas seko, ka lodi var apvilkt

ap jebkuru trijstūra piramīdu, jo ap jebkuru trijstūri var apvilkt riņķa līniju.
ap jebkuru regulāru piramīdu,
ap tādu piramīdu, kuras sānu šķautnes ir vienāda garuma vai ar pamata plakni veido vienādus leņķus. Šajā gadījumā apvilktas lodes centrs atrodas uz taisnes, kas satur piramīdas augstumu (arī ārpusē).

Piramīdai apvilktas lodes centrs atrodas punktā, kurā perpendikulu, kas novilkts caur piramīdas pamatam apvilktās riņķa līnijas centru, krusto caur kādu sānu šķautni novilktā vidusperpendikulu plakne.

YCUZD_081222_4735_vienādsānu pirmalodē.svg

Dotajā zīmējumā attēlota lodē ievilkta piramīda, kuras pamats ir vienādsānu trijstūris un kuras sānu šķautnes ir vienāda garuma.

Ja lodē ievilktā piramīda ir regulāra vai sānu šķautnes vienāda garuma, lietderīgi zīmēt ķermeņa šķēlumu ar plakni, kas iet caur lodes centru un kādu no piramīdas sānu šķautnēm.

YCUZD_081222_4735_lodē plaknē ievilkts.svg

$SO=OR=R$ - lodes rādiuss,

S S_{1}

- lodes diametrs,

A O_{1} = r

- ap piramīdu apvilktas riņķa līnijas rādiuss,

$AS$ - piramīdas šķautne,

$AE$ - piramīdas pamata augstums,

taisne $MO$ attēlo vidusperpendikulu plakni pret šķautni $AS$,

\begin{array}{l} Δ SMO \sim Δ S O_{1} A \\ Δ SMO \sim Δ SA S_{1} \end{array}

Atkarībā no piramīdas sānu skaldņu veidotā leņķa ar pamata plakni, kā arī no piramīdas pamata un virsotnes novietojuma attiecībā pret lodes centru, lodes centrs var būt piramīdas iekšpusē, uz sānu šķautnes vai ārpusē.

YCUZD_081222_4735_lodē reg čpiramīda.svg

Lode apvilkta ap piramīdu, kuras pamatā ir taisnleņķa trijstūris $A$$BC$. Taisne, uz kuras atrodas lodes centrs, iet caur hipotenūzas viduspunktu,

B O_{1} = O_{1} C

YCUZD_071222_4728_taisnltrijst pirmam lodē.svg

Ja lode apvilkta ap piramīdu, kuras sānu šķautnes ir vienāda garuma, apvilktas lodes centrs var atrasties uz taisnes, kas satur piramīdas augstumu, ārpus piramīdas.

Piemērs:

Piramīdas $KABCD$, pamats ir taisnstūris. Viena sānu šķautne ($KA$) ir perpendikulāra pamata plaknei. Apviktās lodes centrs $Q$ atrodas piramīdas garākās sānu šķautnes viduspunktā. Pamato, ka lodi var apvilkt ap doto piramīdu. Aprēķini $KE$, ja zināms, ka $AK$ ir $20$ $cm$ .