Ap prizmu apvilkta lode — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Atkārtosim, ko zinām par rotācijas ķermeņiem apvilktu lodi.

Lodi var apvilkt ap jebkuru cilindru.

Lodi var apvilkt ap jebkuru konusu, pie tam lodes centrs var atrasties arī ārpus konusa.

Lode ir apvilkta ap daudzskaldni, ja visas daudzskaldņa virsotnes atrodas uz lodes virsmas.

Teorēma. Lodi var apvilkt tikai ap tādu taisnu prizmu, ap kuras pamatu var apvilkt riņķa līniju.

No teorēmas var secināt, ka lodi var apvilkt ap katru

Apvilktās lodes centrs atrodas tā prizmas augstuma viduspunktā, kas savieno ap prizmas pamatiem apvilkto riņķa līniju centrus.

Aplūkosim lodi, kas apvilkta kubam.

Lodes centrs

O

ir kuba diagonāļu krustpunkts.

Zīmē kuba diagonālšķēlumu, kas ir taisnstūris.

AC

BD

ir kuba diagonāles, punkts

O

ir lodes centrs.

Lodes rādiuss ir puse no kuba diagonāles:

R_{l} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Kuba diagonāle, ja zināma tā šķautne

a

, ir

a \sqrt{3}

Risinot uzdevumus par taisnstūra paralēlskaldnim apvilktu lodi, diagonāli var aprēķināt ar taisnstūra paralēlskaldņa diagonāļu formulu:

d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

, kur

a

b

c

ir paralēlskaldņa dažādās šķautnes. Tad

R_{l} = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}{2}

Vispārīgā gadījumā, lai iegūtu prizmā ievilktas lodes rādiusu, izmanto taisnleņķa trijstūri, kura

Piemērs:

Lode apvilkta ap regulāru trijstūra prizmu, kuras pamata mala ir \(a\), bet augstums ir \(b\). Aprēķini apvilktās lodes rādiusu!

Risinājums

Uzdevumu var atrisināt bez zīmējuma, ja spējam iztēloties un aprakstīt to trijstūri, kas satur lodes rādiusu.

Izvēlamies taisnleņķa trijstūri \(OEB\), kura viena katete ir pamatam apvilktās riņķa līnijas rādiuss, tātad

BE = \frac{a \sqrt{3}}{3}

Otra katete ir puse no prizmas augstuma, kas pēc dotā ir

\frac{b}{2}

, jo lodes centrs atrodas prizmas augstuma vidusspunktā.

Ar Pitagora teorēmu aprēķinām hipotenūzu \(BO\), kas ir prizmai apvilktās lodes rādiuss:

\begin{array}{l} {R_{l}}^{2} = {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2} \\ {R_{l}}^{2} = \frac{3 a^{2}}{9} + \frac{b^{2}}{4} \\ {R_{l}}^{2} = \frac{12 a^{2} + {9 b}^{2}}{36} \\ R_{l} = \frac{1}{6} \sqrt{12 a^{2} + 9 b^{2}} \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Kriķis D., P. Zariņš, Ziobrovskis V. Diferencēti uzdevumi matemātikā 2. daļa. Rīga, Zvaigzna ABC, izm. 193.lpp.

Atradi kļūdu?

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

3. Ap prizmu apvilkta lode