Argumentu saskaitīšanas formula — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Formulas, kas divu leņķu summas vai starpības funkcijas izsaka ar šo leņķu funkcijām, sauc par argumentu saskaitīšanas formulām.

Matemātika I kursā apguvi sinusa un kosinusa argumentu saskaitīšanas formulas.

\begin{array}{l} \sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ \sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β \end{array}

Ievēro, ka starp funkciju reizinājumiem ir tā pati zīme, kas starp argumentiem.

\begin{array}{l} \cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β \\ \cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β \end{array}

Ievēro, ka starp funkciju reizinājumiem ir pretējā zīme tai, kas ir starp argumentiem (pluss mainās uz mīnusu, bet mīnuss mainās uz plusu).

Argumentu saskaitīšanas formulas ir arī tangensam un kotangensam.

\begin{array}{l} tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β} \\ tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β} \end{array}

kur

\begin{array}{l} α \neq \frac{π}{2} + π n; β \neq \frac{π}{2} + π n; \\ α + β \neq \frac{π}{2} + π n; \\ α - β \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ . \end{array}

Šīs formulas (apvienotas vienā) ir atrodamas Matemātika I un Matemātika II formulu lapās.

Piemērs:

Aprēķini

tg 15 °

, precīzo vērtību, nelietojot kalkulatoru un tabulas!

Risinājums

Vispirms ievērojam, ka

15 °

leņķi var uzrakstīt kā starpību no diviem leņķiem, kuru trigonometriskās funkcijas ir zināmas.

tg 15 ° = tg (45 ° - 30 °)

Pielieto augstāk doto formulu:

\begin{array}{l} tg (45 ° - 30 °) = \\ = \frac{tg 45 ° - tg 30 °}{1 + tg 45 ° \cdot tg 30 °} = \\ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \\ = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \end{array}

Atbrīvojamies no saknes saucējā:

\begin{array}{l} {\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}}^{\cdot (3 - \sqrt{3}} = \\ = \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{{3^{2} - \sqrt{3}}^{2}} = \\ = \frac{3^{2} - 2 \cdot 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6} = \\ = \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3} \end{array}

Noteikti novērtē iegūto iznākumu vai nu ar kalkulatoru (jo eksāmenā tas ir pieejams) vai izmantojot vienības riņķi.

Atbilde: Precīzā vērtība

tg 15 ° = 2 - \sqrt{3}

Skaitliskos piemēros, izvēloties argumentu summu vai starpību, izvēlas izdevīgāko gadījumu. Piemēram, tikko atrisinātais piemēram ir garš risinājums. Bet, ja mēs būtu izvēlējušies citu leņķu starpību, risināt būtu vieglāk.

\begin{array}{l} tg 15 ° = tg (60 ° - 45 °) = \\ = \frac{tg 60 ° - tg 45 °}{1 + tg 60 ° \cdot tg 45 °} = \\ = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \\ = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = ... \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

7. Argumentu saskaitīšanas formula

Teorija