Funkcijas y=tgx pētīšana ar atvasinājumu — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Skola2030 programmas parauguzdevums

Piemērs:

Izpēti un pamato funkciju

y = tg x

y = ctg x

monotonitātes intervālus, kritiskos un ekstrēma punktus, grafika izliekumu, ieliekumu un pārliekuma punktus, izmantojot atvasinājumu.

Lai noteiktu monotonitātes intervālus, kritiskos un ekstrēma punktus, atrod funkcijas pirmo atvasinājumu un to pielīdzina nullei.

Lai noteiktu funkcijas grafika izliekumu, ieliekumu un pārliekuma punktus, izmanto otro atvasinājumu.

Funkcijas

y = tg x

y = ctg x

atvasina pēc dalījuma kārtulas, zinot. ka

tg x = \frac{\sin x}{\cos x}

ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

\begin{array}{l} \sin^{'} x = \cos x \\ \cos^{'} x = - \sin x \end{array}

Izpētīsim funkciju

y = tg x

tās definīcijas apgabalā

D (y) = ℝ \ \{\frac{π}{2} + π n\}, n \in ℤ

Atvasināsim funkciju

f (x) = tg x

\begin{array}{l} f (x) = tg x = \frac{\sin x}{\cos x}, x \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ \\ f^{'} (x) = {(\frac{\sin x}{\cos x})}^{'} = \frac{{\sin x}^{'} \cdot \cos x - \sin x \cdot {\cos x}^{'}}{{(\cos x)}^{2}} = \\ = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (- \sin x)}{\cos^{2} x} = \\ = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \\ = \frac{1}{\cos^{2} x} \end{array}

Pielīdzinām atvasinājumu nullei, tādējādi nosakot kritiskos punktus.

\begin{array}{l} f^{'} (x) = \frac{1}{\cos^{2} x} = 0 \\ x \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ, n \in ℤ \end{array}

Redzam, ka neeksistē tādas

x

vērtības, ar kurām funkcijas

y = tg x

 atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad funkcijai savā definīcijas apgabalā nav kritisko punktu, sekojoši nav arī ekstrēma punktu (minimuma punkts un maksimuma punkts).

Noskaidrosim monotonitātes intervālus.

Funkcija aug, ja pirmais atvasinājums ir lielāks par nulli.

\begin{array}{l} f^{'} (x) = \frac{1}{\cos^{2} x} > 0 \\ x \in R, x \neq \frac{π}{2} + π n, n \in ℤ \end{array}

Redzam, ka funkcija

y = tg x

ir augoša visā savā definīcijas apgabalā.

Lai noteiktu grafika izliekumu, ieliekumu un pārliekuma punktus, atrod otro atvasinājumu.

To var izdarīt divējādi.

y = tg x

pirmo atvasinājumu

\frac{1}{\cos^{2} x}

var atvasināt kā daļu vai kā pakāpes funkciju.

I veids*:

\begin{array}{l} f^{″} (x) = {(\frac{1}{\cos^{2} x})}^{'} = \\ = \frac{1 \cdot {(\cos^{2} x)}^{'} + 1^{'} \cdot \cos^{2} x}{\cos^{4} x} = \\ = \frac{{2 \cos x \cdot (\cos x)}^{'} + 0 \cdot \cos^{2} x}{\cos^{4} x} = \\ = \frac{2 \cos x \cdot \sin x + 0}{\cos^{4} x} \\ f^{″} (x) = \frac{2 \sin x}{\cos^{3} x} \end{array}

Funkcijas pārliekums var būt punktos, kuros funkcijas otrais atvasinājums ir nulle vai arī neeksistē. Uzmanies! Ne vienmēr punktos, kuros 2. kārtas atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē, funkcijai ir pārliekums.

\begin{array}{l} f^{″} (x) = \frac{2 \sin x}{\cos^{3} x} = 0 \\ \{\begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = π n, n \in ℤ \\ x \neq \frac{π}{2} + π k, n \in ℤ, k \in ℤ \end{cases} \\ x = π n, n \in ℤ \end{array}

Tā kā funkcija

y = tg x

ir periodiska, noskaidrosim funkcijas ieliekumu un izliekumu dažos intervālos:

$x$	$(- \frac{π}{2}; 0)$	$0$	$(0; \frac{π}{2})$	$\frac{π}{2}$	$(\frac{π}{2}; π)$	$π$	$(π; \frac{3 π}{2})$
$f^{″} (x)$	$-$	$0$	$+$	neeksistē	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	izliekta (uz augšu) $\cap$	pārliekums $0$	ieliekta (uz leju) $\cup$	pārliekums, vertikālā asimptota	izliekta $\cap$	pārliekums $0$	ieliekta $\cup$