8. Funkcija y=arcsinx

Trigonometrisko funkciju inversās funkcijas sauc par ciklometriskām funkcijām.

 

Kā zināms, funkcijai $y=f\left(x\right)$ kādā intervālā $\left(a;b\right)$ eksistē inversā funkcija tikai tad, ja tā šajā intervālā ir monotona, t.i., tikai aug vai tikai dilst. Tādējādi, lai iegūtu kādas trigonometriskās funkcijas inverso funkciju, vispirms jānosaka intervāls, kurā šī trigonometriskā funkcija ir monotona.

 

Tā kā intervālā $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ sinuss ir monotoni augoša funkcija, tad šajā intervālā tai eksistē inversā funkcija.

No izteiksmes $y=\sin x$ iegūstam $x=\arcsin y$.

Šī vienādība definē $x$ kā $y$\( \) funkciju, un tās jēga ir šāda: "$x$\( \) ir tāds skaitlis no intervāla $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$, kura sinusa funkcijas vērtība ir $y$".

 

Tā kā argumentu apzīmē ar $x$, bet funkcijas vērtību - ar $y$, tad mainot apzīmējumus, iegūstam funkcijas izteiksmi $y=\arcsin x$.

 

  

Arksinuss ir nepāra funkcija: $\arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x$

Arksinuss ir augoša savā definīcijas apgabalā $\left[-1;1\right]$.

Arksinusa funkcijas grafiku iegūst, attēlojot funkcijas $y=\sin x$ grafiku intervālā $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ simetriski attiecībā pret taisni $y=x$.

  

 

Piemēram,