Trigonometriskās nevienādības — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Tādas nevienādības, kurās nezināmais ir trigonometriskās funkcijas arguments (leņķis), sauc par trigonometriskām nevienādībām.

Vidusskolas kursā ir jāprot risināt pamatnevienādības:

\sin x < a

;

\cos x < a

tg x < a

ctg x < a

(\leq; \geq; >)

Risinājumā izmanto vienības riņķi.
Īsa risinājuma gaita:

Uzzīmē vienības riņķi, atrod dotās funkcijas asi.
Uz atbilstošās ass atliek doto skaitlisko (\(a\)) vērtību.
Ņemot vērā nevienādības zīmi, iekrāso atbilstošo loka daļu.
Nosaka pagrieziena leņķa vērtības (bieži vien tās vajag atrisināt no atbilstošā vienādojuma un tad atlikt riņķī).
Nolasa atbilstošo intervālu, ņemot vērā, ka leņķi pieaug pretēji pulksteņa rādītāju virzienam.

Piemērs:

Atrisini nevienādību

\sin x > \frac{1}{2}

1. Uz

y

ass atliek punktu

\frac{1}{2}

un caur šo punktu paralēli

x

asij novelk taisni. Uz vienības riņķa līnijas iegūst punktus, kas atbilst leņķiem

30 °

150 °

2. Tā kā

\sin x > \frac{1}{2}

, tad uz

y

ass iezīmējam to daļu, kurai atbilst skaitļi, kas lielāki par

\frac{1}{2}

tātad - uz augšu no punkta

y = \frac{1}{2}

3. Iezīmē to riņķa līnijas daļu, kurai atbilstošo punktu ordinātas (

y

) ir lielākas nekā

\frac{1}{2}

Nevienādības

\sin x > \frac{1}{2}

atrisinājumam atbilst sarkanās krāsas loka punkti.

4. Lai pareizi uzrakstītu atbildes intervālu, jāatceras, ka pa iezīmēto loku pārvietojas pretēji pulksteņa rādītāju virzienam.

Tā kā sinusa funkcijas periods ir

360 °

, tad, pieskaitot iegūtajām leņķa vērtībām perioda daudzkārtni

360 ° n

, iegūst nevienādības visus atrisinājumus:

x \in (30 ° + 360 ° n; 150 ° + 360 ° n), n \in ℤ

Lai zīmējumā pareizi atliktu leņķus, atrisina vienādojumu

\begin{array}{l} \sin x = \frac{1}{2} \\ x = [\begin{array}{l} 30 ° + 360 ° n \\ 150 ° + 360 ° n \end{array}, kur n \in ℤ \end{array}

Atbilde:

x \in (30 ° + 360 ° n; 150 ° + 360 ° n), n \in ℤ

Nevienādību risinot, var zīmēt arī šādu attēlu:

Atradi kļūdu?

16. Trigonometriskās nevienādības