Trigonometriskais vienādojums ar sin, cos un tg — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Aplūkosim trigonometriskā vienādojuma piemēru, kurā ir dota triju dažādu funkciju summa.

Visvienkāršāk ir pārveidot tangensa funkciju. Izmantojam formulu.

Piemērs:

Atrisini vienādojumu $\sin x - 4 \cos x + tg x = 4$

Risinājums

Pēc formulas pārveido

tg x = \frac{\sin x}{\cos x}

Nosaka kopsaucēju:

\begin{array}{l} {\frac{\sin x}{1}}^{(\cos x} - {\frac{4 \cos x}{1}}^{(\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = {\frac{4}{1}}^{(\cos x} \\ \frac{\sin x \cos x - 4 \cos^{2} x + \sin x}{\cos x} = \frac{4 \cos x}{\cos x} \\ \cos x \neq 0 \end{array}

Ja saucēji vienādi, arī skaitītāji ir vienādi. Izmanto grupēšanu.

\begin{array}{l} \sin x \cos x - 4 \cos^{2} x + \sin x - 4 \cos x = 0 \\ \sin x \cos x + \sin x - 4 \cos^{2} x - 4 \cos x = 0 \\ \sin x (\cos x + 1) - 4 \cos x (\cos x + 1) = 0 \\ (\cos x + 1) (\sin x - 4 \cos x) = 0 \end{array}

Reizinājums ir vienāds ar $0$, ja vismaz viens no reizinātājiem ir vienāds ar $0$.

\begin{array}{l} \cos x + 1 = 0 \\ \cos x = - 1 \\ x = π + 2 π k, k \in ℤ \\ vai \\ \sin x - 4 \cos x = 0 | : \cos x \neq 0 \\ \frac{\sin x}{\cos x} - 4 = 0 \\ tg x - 4 = 0 \\ tg x = 4 \\ x = arctg 4 + π n, n \in ℤ \end{array}

Pārbauda, vai iegūtās saknes ir derīgas (

\cos x

nedrīkst būt $0$, jo ir daļas saucējā)

Atbilde:

\begin{array}{l} x = π + 2 π k, k \in ℤ \\ x = arctg 4 + π n, n \in ℤ \end{array}

Izmēģini iegūtās zināšanas! Uz lapas izrēķini vienādojumu

\cos x - 8 \sin x + ctg x = 8

Salīdzini, vai ieguvi atbildi:

\begin{array}{l} x = - \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ \\ x = arcctg 8 + π n, n \in ℤ \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

15. Trigonometriskais vienādojums ar sin, cos un tg