14. Vienāda nosaukuma trig. funkciju vienādība

Noskaidrosim, kā risina vienādojumus, kuros abās vienādības pusēs ir viena nosaukuma funkcija, piemēram,

 

Ja divu argumentu \(z\) un \(t\) sinusi ir vienādi: $\sin z=\sin t$, tad šiem argumentiem uz trigonometriskā vienības riņķa atbilst

vai

Pirmajā gadījumā argumenti \(z\) un \(t\) var atšķirties tikai ar perioda daudzkārtni, tāpēc $z=t+2\mathrm{\pi }n$.

Otrajā gadījumā starp argumentiem \(z\) un \(t\) pastāv vienādība: $z=\mathrm{\pi }-t+2\mathrm{\pi }k$, ievērojot$\sin x=a$ vispārīgo atrisinājumu.

Līdzīgi iegūst atrisinājumu pārējiem trigonometriskajiem vienādojumiem, kuros ir vienāda nosaukuma trigonometrisko funkciju vienādība.

Atbilde: vienādojuma $\sin 3x=\sin 2x$ atrisinājums ir $x_1=\frac{\mathrm{\pi }}{5}+\frac{2\mathrm{\pi }k}{5};x_2=2\mathrm{\pi }n$, $k\in \mathrm{\mathbb{Z}},n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

 

 

Aplūkosim piemēru, kura atrisinājumu ietekmē definīcijas apgabals: $\mathrm{tg}5x=\mathrm{tg}x$.

 

Tomēr visas iegūtās vērtības nav vienādojuma saknes, jo, ievērojot $y=\mathrm{tg}x$ definīcijas apgabalu $x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }k,k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Tāpēc no vienādības $x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}n$ jāizslēdz tās n vērtības, ar kurām $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }k$. Varam ievērot, ka \(n\) nedrīkst būt \(2\). Tomēr drošāk ir atrisināt vienādojumu, nevis minēt.

Tātad

Atbilde: Vienādojuma $\mathrm{tg}5x=\mathrm{tg}x$ atrisinājums ir $x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}n$, kur $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}\mathrm{un}n\ne 4z+2$, kas nozīmē veselos skaitļus, kurus dalot ar \(4\) atlikumā iegūst \(2\). Piemēram, \(2; 6; 10; 14;...\)

 

Ievēro, ka, piemēram, $\frac{\mathrm{\pi }}{4}\cdot 6=\frac{6\mathrm{\pi }}{4}=\frac{4\mathrm{\pi }}{4}+\frac{2\mathrm{\pi }}{4}=\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, kas neatbilst tangensa definīcijas apgabalam.