Vienāda nosaukuma trig. funkciju vienādība — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna tēma

"Analītiskā ģeometrija"

Noskaidrosim, kā risina vienādojumus, kuros abās vienādības pusēs ir viena nosaukuma funkcija, piemēram,

\sin x = sin3 x

\cos x = \cos (x - 30 °)

tg 2 x = tg 3 x

Ja divu argumentu \(z\) un \(t\) sinusi ir vienādi:

\sin z = \sin t

, tad šiem argumentiem uz trigonometriskā vienības riņķa atbilst

viens un tas pats punkts

vai

divi dažādi punkti ar vienādām ordinātām.

Pirmajā gadījumā argumenti \(z\) un \(t\) var atšķirties tikai ar perioda daudzkārtni, tāpēc

z = t + 2 π n

Otrajā gadījumā starp argumentiem \(z\) un \(t\) pastāv vienādība:

z = π - t + 2 π k

, ievērojot

\sin x = a

vispārīgo atrisinājumu.

\sin z = \sin t

, tad

[\begin{array}{l} z = t + 2 π n, n \in ℤ \\ z = π - t + 2 π k, k \in ℤ, \end{array}

Līdzīgi iegūst atrisinājumu pārējiem trigonometriskajiem vienādojumiem, kuros ir vienāda nosaukuma trigonometrisko funkciju vienādība.

\cos z = \cos t

, tad

\begin{array}{l} z = t + 2 π n, n \in ℤ \\ z = - t + 2 π k, k \in ℤ \end{array}

Uzmanīgam ir jābūt ar vienādojumiem, kuros ir tangensa vai kotangensa funkcija, jo ir jāievēro tās definīcijas apgabals.

tg z = tg t

, tad

z = t + π n, n \in ℤ

, ievērojot tangensa funkcijas definīcijas apgabalu

z \neq \frac{π}{2} + π k, k \in ℤ

ctg z = ctg t

, tad

z = t + π n, n \in ℤ

, ievērojot kotangensa funkcijas definīcijas apgabalu

z \neq π k, k \in ℤ

Atrisināsim piemēru

\sin 3 x = \sin 2 x

Risinājums

No divu sinusu vienādības izriet, ka

\begin{array}{l} 3 x = 2 x + 2 π n \\ 3 x - 2 x = 2 π n \\ x = 2 π n \end{array}

\begin{array}{l} 3 x = π - 2 x + 2 π k \\ 3 x + 2 x = π + 2 π k \\ 5 x = π + 2 π k \\ x = \frac{π}{5} + \frac{2 π k}{5} \end{array}

Atbilde: vienādojuma

\sin 3 x = \sin 2 x

atrisinājums ir

x_{1} = \frac{π}{5} + \frac{2 π k}{5}; x_{2} = 2 π n

k \in ℤ, n \in ℤ

Aplūkosim piemēru, kura atrisinājumu ietekmē definīcijas apgabals:

tg 5 x = tg x

Risinājums

\begin{array}{l} \{\begin{cases} 5 x = x + π n, n \in ℤ \\ x \neq \frac{π}{2} + π k, k \in ℤ \end{cases} \\ \{\begin{cases} 4 x = π n, n \in ℤ \\ x \neq \frac{π}{2} + π k, k \in ℤ \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = \frac{π}{4} n, n \in ℤ \\ x \neq \frac{π}{2} + π k, k \in ℤ \end{cases} \end{array}

Varam ievērot, ka \(n\) nedrīkst būt \(2\). Tomēr drošāk ir atrisināt vienādojumu, nevis minēt. Izpētīsim, ar kurām \(n\) vērtībām vienādojumam ir saknes.

Iev

\begin{array}{l} \frac{π}{4} n \neq \frac{π}{2} + π k | \cdot \frac{4}{π} \\ n \neq 2 + 4 k \\ n \neq 4 k + 2 \end{array}

Atbilde: Vienādojuma

tg 5 x = tg x

atrisinājums ir

x = \frac{π}{4} n

, kur

n \in ℤ un n \neq 4 k + 2

, kas nozīmē veselos skaitļus, kurus dalot ar \(4\) atlikumā iegūst \(2\). Piemēram, \(2; 6; 10; 14;...\)

Ievēro, ka, piemēram,

\frac{π}{4} \cdot 6 = \frac{6 π}{4} = \frac{4 π}{4} + \frac{2 π}{4} = π + \frac{π}{2}

, kas neatbilst tangensa definīcijas apgabalam.

Piebilde.

Vai atsevišķi jāmeklē \(tg5x\) definīcijas apgabalu?

No mūsu sastādītās sistēmas izriet, kā arī

5 x \neq \frac{π}{2} + π m, m \in Z

. Kāpēc?

No sistēmas pirmās rindiņas vienādojuma var secināt, ka

x = 5 x - π n

un tad

5 x - π n \neq \frac{π}{2} + π k

jeb

\begin{array}{l} 5 x \neq \frac{π}{2} + π k + π n \\ 5 x \neq \frac{π}{2} + π (k + n), k \in ℤ, n \in ℤ \\ 5 x \neq \frac{π}{2} + π m, m \in ℤ \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

14. Vienāda nosaukuma trig. funkciju vienādība

Teorija

Pamanīts reklāmas bloķētājs!