Noskaidrosim, kā risina vienādojumus, kuros abās vienādības pusēs ir viena nosaukuma funkcija, piemēram,
Ja divu argumentu \(z\) un \(t\) sinusi ir vienādi: , tad šiem argumentiem uz trigonometriskā vienības riņķa atbilst
- viens un tas pats punkts
vai
- divi dažādi punkti ar vienādām ordinātām.
Pirmajā gadījumā argumenti \(z\) un \(t\) var atšķirties tikai ar perioda daudzkārtni, tāpēc .
Otrajā gadījumā starp argumentiem \(z\) un \(t\) pastāv vienādība: , ievērojot vispārīgo atrisinājumu.
Ja , tad
Līdzīgi iegūst atrisinājumu pārējiem trigonometriskajiem vienādojumiem, kuros ir vienāda nosaukuma trigonometrisko funkciju vienādība.
Ja , tad
Uzmanīgam ir jābūt ar vienādojumiem, kuros ir tangensa vai kotangensa funkcija, jo ir jāievēro tās definīcijas apgabals.
Ja , tad , ievērojot tangensa funkcijas definīcijas apgabalu .
Ja , tad , ievērojot kotangensa funkcijas definīcijas apgabalu .
Atrisināsim piemēru .
Risinājums
No divu sinusu vienādības izriet, ka
1)
2)
Atbilde: vienādojuma atrisinājums ir , .
Aplūkosim piemēru, kura atrisinājumu ietekmē definīcijas apgabals: .
Risinājums
Varam ievērot, ka \(n\) nedrīkst būt \(2\). Tomēr drošāk ir atrisināt vienādojumu, nevis minēt. Izpētīsim, ar kurām \(n\) vērtībām vienādojumam ir saknes.
Iev
Atbilde: Vienādojuma atrisinājums ir , kur , kas nozīmē veselos skaitļus, kurus dalot ar \(4\) atlikumā iegūst \(2\). Piemēram, \(2; 6; 10; 14;...\)
Ievēro, ka, piemēram, , kas neatbilst tangensa definīcijas apgabalam.
Piebilde.
Vai atsevišķi jāmeklē \(tg5x\) definīcijas apgabalu?
No mūsu sastādītās sistēmas izriet, kā arī . Kāpēc?
No sistēmas pirmās rindiņas vienādojuma var secināt, ka un tad jeb
Atsauce:
Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa