13. Homogēni trigonometriskie vienādojumi

Kā pazīt trigonometrisku homogēnu vienādojumu?

Trigonometriskam homogēnam vienādojumam:

 

Vidusskolā jāprot atrisināt pirmās un otrās pakāpes homogēnu vienādojumu.

Piemēram, vienādojumu ${2\sin }^{2}x+3\sin x\cos x=0$ neuzskatīsim par homogēnu, jo koeficients \(c=0\). Šo vienādojumu atrisina ar sadalīšanu reizinātājos ($\sin x$ var iznest pirms iekavām).

 

Savukārt vienādojumu ${3\sin }^{2}x+\sin 2x=2$ var reducēt par homogēnu vienādojumu:

 

Izmanto pierādījumu no pretējā.

 

1) Dots vienādojums $a\cdot \sin x+b\cdot \cos x=0$

Ja $\cos x=0$, tad $a\sin x=0$ un $\sin x=0$, bet tas ir pretrunā ar trigonometrisko pamatidentitāti ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Tātad $\cos x\ne 0$ un ar to drīkst dalīt.

 

2) Dots vienādojums ${a\cdot \sin }^{2}x+b\cdot \sin x\cos x+c\cdot {\cos }^{2}x=0$

Ja ${\cos }^{2}x=0$, tad

bet tas ir pretrunā ar trigonometrisko pamatidentitāti ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Tātad ${\cos }^{2}x\ne 0$ un ar to drīkst dalīt.