Binomiālā sadalījuma sagaidāmā vērtība (matemātiskā cerība) — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

Binomiālajam varbūtību sadalījumam ir vienkārša sagaidāmās vērtības formula. Aplūkosim piemēru.

Piemērs:

Monētu met trīs reizes. Gadījuma lielums \(X\) ir cipara uzkrišanas skaits. Nosaki sagaidāmo vērtību!

Notikums \(A\) - "uzkrīt cipars".

Risinājums

Notikuma \(A\) iestāšanās varbūtība vienā mēģinājumā

p = \frac{1}{2}

Neatkarīgo mēģinājumu skaits \(n=3\).

Gadījuma lieluma \(X\) iespējamās vērtības ir \(0\); \(1\); \(2\); \(3\).

Gadījuma lieluma \(X\) sadalījuma likuma (tabulas) atrašana un \(E(X)\) rēķināšana ar summas formulu būtu laikietilpīgs process. Tāpēc to nedarīsim.

Ir pierādīts - ja gadījuma lielums ir sadalīts binomiāli, gadījuma lieluma \(X\) sagaidāmā vērtība ir

E (X) = np

, kur \(n\) - neatkarīgo mēģinājumu skaits, \(p\) - gadījuma notikuma \(A\) iestāšanās varbūtība vienā mēģinājumā (visos mēģinājumos tā ir vienāda).

Tātad

E (X) = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5

Vari pārbaudīt, vai ar sagaidāmās vērtības formulu var iegūt tādu pašu rezultātu.

Aplūkosim ideju, kā pierāda binomiāla varbūtību sadalījuma sagaidāmās vērtības formulu.

Pierādīsim, ka binomiālā sadalījuma sagaidāmo vērtību var aprēķināt ar formulu \(E(X)=2p,\) kur \(2\)- neatkarīgo mēģinājumu skaits, \(p\) - gadījuma notikuma \(A\) iestāšanās varbūtība vienā mēģinājumā (visos mēģinājumos tā ir vienāda).

Noskaidrosim, ko zinām par sagaidāmo vērtību un binomiālo varbūtību sadalījumu.

1) Par diskrēta gadījuma lieluma sagaidāmo vērtību (jeb matemātisko cerību) sauc skaitli

E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i}

2) Lai aprēķinātu varbūtību, ka notikums \(A\) iestāsies \(n\) mēģinājumos tieši \(m\) reizes, var izmantot Bernulli formulu.

P (X = m) = C_{n}^{m} \cdot p^{m} \cdot q^{n - m}

, kur \(q=1-p\).

3) Zinām, ka varbūtības, kuras aprēķina ar Bernulli formulu, ir Ņūtona binoma izvirzījuma locekļi.

Ja \(n=2\), gadījuma notikumam \(X\) ir trīs gadījumi: (

x_{1} = 0; x_{2} = 1; x_{3} = 2

) un atbilstošās varbūtības ir sekojošas:

1 q^{2}; 2 qp; 1 p^{2}

Ievietosim gadījuma notikuma \(X\) vērtības un to varbūtības sagaidāmās vērtības \(E(X) \) formulā:

\begin{array}{l} E (X) = 0 \cdot q^{2} + 1 \cdot 2 qp + 2 \cdot p^{2} = \\ = 2 (1 - p) p + 2 p^{2} = \\ = 2 p \underline{- 2 p^{2}} + \underline{2 p^{2}} = \\ = 2 p \end{array}

Esam pierādījuši, ka

\(E(X)=2p\), kur \(n=2\) - neatkarīgo mēģinājumu skaits, \(p\) - labvēlīga notikuma iestāšanās varbūtība.

Pierādīsim, ka binomiālā sadalījuma sagaidāmo vērtību var aprēķināt ar formulu \(E(X)=3p,\) kur 3 - neatkarīgo mēģinājumu skaits, \(p\) - gadījuma notikuma \(A\) iestāšanās varbūtība vienā mēģinājumā.

Tā kā \(n=3\), tad Ņūtona binoma locekļi ir

1 q^{3}; 3 q^{2} p; 3 p^{2} q; 1 p^{3}

, kur

q = 1 - p

Ja neatkarīgo mēģinājumu skaits \(n=3\), tad binomiāli sadalītam gadījuma notikumam \(X\) ir četri varianti:

x_{1} = 0; x_{2} = 1; x_{3} = 2; x_{4} = 3

\begin{array}{l} E (X) = 0 \cdot q^{3} + 1 \cdot 3 q^{2} p + 2 \cdot 3 q p^{2} + 3 \cdot p^{3} = \\ = 3 {p q}^{2} + 6 q p^{2} + 3 p^{3} = \\ = 3 {(1 - p)}^{2} p + 6 (1 - p) p^{2} + 3 p^{3} = \\ = 3 p (1 - 2 p + p^{2}) + 6 p^{2} - 6 p^{3} + 3 p^{3} = \\ = 3 p \underline{- 6 p^{2}} + \underline{\underline{3 p^{3}}} + \underline{6 p^{2}} \underline{\underline{- 6 p^{3} + 3 p^{3}}} = \\ = 3 p \end{array}

Tātad esam pierādījuši,

ja binomiālā varbūtību sadalījuma vērtību skaits (neatkarīgo mēģinājumu skaits) \(n=\)\(3\), tad sagaidāmo vērtību aprēķina ar formulu \(E(X)=3p\).

Var pierādīt vispārinājumu:

Binomiālā sadalījuma sagaidāmo vērtību aprēķina ar formulu \(E(X)=np,\) kur \(n\) - neatkarīgo mēģinājumu skaits, \(p\) - gadījuma notikuma \(A\) iestāšanās varbūtība vienā mēģinājumā (visos mēģinājumos tā ir vienāda).

Padoms. Ja ir šaubas, vai var lietot šo vienkāršo sagaidāmās vērtības formulu, padomā, vai uzdevumā varētu pielietot Bernulli formulu. Ja var, tad \(E(X)=np.\)

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

https://mape.skola2030.lv/resources/9482

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamais uzdevums

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

11. Binomiālā sadalījuma sagaidāmā vērtība (matemātiskā cerība)

Teorija