Binominālais sadalījums un Ņūtona binoms — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Paņem Matemātika II formulu un uzziņu lapu un salīdzini Ņūtona binoma izvirzījuma formulu, kas pierakstīta ar summas zīmi, un Bernulli formulu.

Izzināsim, kā binomiālais sadalījums ieguvis savu nosaukumu.

Atrisināsim uzdevumu.

Loka šāvējs gatavojas veikt trīs šāvienus. Zināms, ka loka šāvējs trāpa mērķī ar varbūtību $p$ (varbūtība netrāpīt ir $q = 1 – p$).

Noskaidrosim, kāda varbūtība, ka trāpīs

x_{i}

šāvienus (

x_{i}

iespējamās vērtības ir $0$; $1$; $2$ un $3$).

Risinājums

Izveidojam gadījuma lieluma $X$ sadalījuma likuma tabulu.

Pirmā rindā ierakstām $X$ dotās vērtības.

$X = x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$q^{3}$	$3 p q^{2}$	$3 p^{2} q$	$p^{3}$

Nosakām atbilstošās varbūtības, ierakstām tabulas otrā rindā:

P (X = 0) = q \cdot q \cdot q = q^{3}

P (X = 1) = pqq + qpq + qqp = 3 p q^{2}

P (X = 2) = ppq + qpp + pqp = 3 p^{2} q

P (X = 3) = p \cdot p \cdot p = p^{3}

Tā kā

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1

, tad

\begin{array}{l} q^{3} + 3 p q^{2} + 3 p^{2} q + p^{3} = 1 \\ {(p + q)}^{3} = 1 \end{array}

Esam ieguvuši binoma kubu. Ja būtu $n$ šāvieni, tad varbūtību summa veidotu binoma $n$-to pakāpi:

{(p + q)}^{n} = 1

, kur $n$ ir neatkarīgo mēģinājumu skaits.

Ja uzmanīgi paskatāmies Bernulli formulu

P (X = m) = C_{n}^{m} \cdot p^{m} \cdot q^{n - m}

, redzam, ka varbūtības ir Ņūtona binoma izvirzījuma locekļi.

Ņūtona binoma formula:

{(a + b)}^{n} = \sum_{m = 0}^{n} C_{n}^{m} a^{m} b^{n - m}

Atceries, ka binomiālkoeficientus

C_{n}^{m}

viegli aprēķināt, izmantojot Paskāla trijstūri.

Kopsavilkums

Ar binomiālo sadalījumu sastopamies, ja nepieciešams novērtēt atkārtotu mēģinājumu varbūtības, turklāt katrā mēģinājumā tiek fiksēta tikai viena no atbildēm - "jā" vai "nē". Ja ir $n$ mēģinājumi, varam konstatēt notikuma iestāšanos jeb atbildi "jā" $0$ reizes, $1$ reizi, ..., $m$ reizes ,..., $n-1$ reizi, $n$ reizes.

Binomiālo sadalījumu var uzrādīt tabulas veidā. Šajā nolūkā tabulas pirmajā ailē uzrāda gadījuma lieluma $X$ visus $m$ variantus: $0$; $1$; $2$; …; $n-1$; $n$. Otrajā ailē uzrāda to varbūtības kā Ņūtona binoma