Gadījuma lieluma jēdziens X — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Varbūtību teorijā līdz šim aplūkojām gadījuma notikumus.

Ja vienādos apstākļos veiktajā eksperimentā var iegūt dažādus rezultātus, tad mēģinājumu sauc par gadījuma mēģinājumu, bet mēģinājuma rezultātu - par gadījuma notikumu.

Gadījuma notikumu piemēri:

metot monētu, uzmests ģērbonis;
no kavas izvilktā kārts ir kreiča dūzis;
metot spēļu kauliņu, uzkritis pāra skaitlis;
no pirmās kastes izņemtā detaļa ir brāķis.

Varbūtību teorijā var aplūkot arī tādus gadījuma notikumus, kuri ir uzdoti ar skaitļiem. Piemēram, spēļu kauliņa mešanas rezultātus varam interpretēt kā skaitļus $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Piemēram, monētas mešanas iznākumu ģērbonis varam apzīmēt ar $1$, bet cipars - ar $\ 0$.

Tālāk aplūkosim tikai tādus gadījuma notikumus, kurus var izteikt ar skaitli.

Par gadījuma lielumu sauc lielumu, kurš mēģinājuma rezultātā var pieņemt tikai vienu skaitlisku vērtību, kura ir atkarīga no liela gadījuma notikumu skaita, un tāpēc šo lielumu nav iespējams iepriekš paredzēt.

Gadījuma lielumu sauc par diskrētu, ja tas var pieņemt tikai vērtības no kopas, kas sastāv no atsevišķiem izolētiem skaitļiem, kurus var sanumurēt.

Piemēram, izstādes apmeklētāju skaits konkrētas dienas laikā ir diskrēts gadījuma lielums.

Diskrēta gadījuma lieluma visas iespējamās skaitliskās vērtības veido galīgu vai bezgalīgu skaitļu virkni.

Ievēro, gadījuma lielumi var būt arī nepārtraukti. Gadījuma lielumu sauc par nepārtrauktu, ja tas var pieņemt jebkuru skaitlisku vērtību kādā intervālā. Piemēram, cilvēka auguma garums vai arbūza masa ir nepārtraukti gadījuma lielumi. Šāda veida lielumus aplūkosim nākošā tematā.

Gadījuma lielumus apzīmē ar lielajiem burtiem $X$, $Y$, … .

Par diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu sauc sakarību, kas saista gadījuma lieluma vērtības ar to varbūtībām. Sadalījuma likumu var uzdot ar tabulu, formulu vai grafiku. Diskrēta gadījuma lieluma grafiks ir poligons.

Pieņemsim, ka diskrēts gadījuma lielums $X$ pieņem vērtības

x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}

. Ir dotas varbūtības

P (X = x_{i}) = p_{i}

, turklāt varbūtībām izpildās nosacījums, ka

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1

Gadījuma lieluma $X$ sadalījuma likumu var uzdot ar tabulu:

$X = x_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	...	$x_{n}$
$P (X = x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	…	$p_{n}$

Šādu tabulu sauc par diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma rindu.

Aplūkosim piemēru.

Jānim basketbola treniņš ir divas dienas nedēļā.

Varbūtība, ka viņš apmeklē abus treniņus, ir $0,9$. Varbūtība, ka viņš apmeklē tikai vienu treniņu, ir $0,04$. Ir nedēļas, kad viņš neapmeklē nevienu treniņu. Varbūtība, ka viņš neapmeklē nevienu treniņu, ir $0,06$.

Nosaki varbūtību sadalījumu gadījuma lielumam $X$, kur $X$ – treniņu apmeklējumu skaits.

Risinājums

Gadījuma lielums $X$ var pieņemt trīs vērtības ($n=3$). Jāņa treniņu apmeklējums:

nevienu reizi ($0$), tātad vērtība $x_{1} = 0$ ,
apmeklē vienu reizi ($1$), tātad vērtība $x_{2} = 1$ ,
apmeklē divas reizes ($2$), tātad vērtība $x_{3} = 2$ .

Pēc dotā

p_{1} = P (X = x_{1}) = 0,06

jeb

p_{1} = P (X = 0) = 0,06

p_{2} = P (X = x_{2}) = 0,04

jeb

p_{2} = P (X = 1) = 0,04

p_{3} = P (X = x_{3}) = 0,9

jeb

p_{3} = P (X = 2) = 0,9

Gadījuma lieluma $X$ sadalījuma likumu izsaka šāda tabula:

$X = x_{i}$	$0$	$1$	$2$
$P (X = x_{i})$	$0,06$	$0,04$	$0,9$

Lai skaidrāk saprastu, kā veido sadalījuma likumu, papildināsim šo tabulu ar apzīmējumiem:

$X = x_{i}$	$x_{1}$ $0$	$x_{2}$ $1$	$x_{n}$ $2$
$P (X = x_{i})$	$p_{1}$ $0,06$	$p_{2}$ $0,04$	$p_{n}$ $0,9$

Uzmanies nesajaukt gadījuma lieluma kārtas numuru un tā vērtību. Tie parasti nesakrīt, jo $x$ numerācija sākas no $1$, bet uzdevumā pirmā vērtība ir $0$ apmeklējumi nevis $1$ apmeklējums.

Pārbaudām, vai

\sum_{i = 1}^{3} p_{i} = p_{1} + p_{2} + p_{3} = 1

0,04 + 0,9 + 0,06 = 1

Ja summa nebūtu skaitlis $1$, sadalījuma likums, kuru izsaka tabula, būtu aplami sastādīts.

Ievēro - $n$ ir skaits, cik vērtības var pieņemt gadījuma lielums. Šajā piemērā $n=$$3$.

Indekss $i$ nozīmē, kuru vērtību pēc kārtas izvēlas. Tātad $i$ mainās no $1$ līdz $3.$

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

$X = x_{i}$	\(0\)	\(1\)	\(2\)
$P (X = x_{i})$	\(0,06\)	\(0,04\)	\(0,9\)

\(\) $X = x_{i}$ \(\)	$x_{1}$ \(0\)	$x_{2}$ \(1\)	$x_{n}$ \(2\)
$P (X = x_{i})$	$p_{1}$ \(0,06\)	$p_{2}$ \(0,04\)	$p_{n}$ \(0,9\)

3. Gadījuma lieluma jēdziens X

Teorija