Binominālais sadalījums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Ar binomiālo sadalījumu sastopamies, ja nepieciešams novērtēt atkārtotu mēģinājumu varbūtības, turklāt katrā mēģinājumā tiek fiksēta tikai viena no atbildēm - "jā" vai "nē".

Ja mēģinājumu izdara $n$ reizes, tad par kopējo rezultātu vairs nevar atbildēt ar "jā" vai "nē".

Ja ir $n$ mēģinājumi, varam konstatēt notikuma iestāšanos jeb atbildi "jā"

$0$ reizes,

$1$ reizi,

...

$m$ reizes,

...

$n-1$ reizi,

$n$ reizes.

Piemērs:

Urnā ir $6$ baltas un $5$ melnas bumbiņas. Vienu bumbiņu izņem un nosaka tās krāsu, pēc kā bumbiņu ievieto atpakaļ urnā. To atkārto trīs reizes. Nosaki varbūtību sadalījuma tabulu gadījuma lielumam $X$, kur $X$ – melno bumbiņu skaits.

Risinājums

Gadījuma lielums $X$ var pieņemt četras vērtības. Melna bumbiņa

nav nevienu reizi ($0$)
ir vienu reizi ($1$),
ir divas reizes ($2$),
ir trīs reizes ($3$).

Notikums $A$ - "nejauši izņemta bumbiņa ir melna".

Iznākumu kopa ir

\{AAA; AA \bar{A}; A \bar{A} A; \bar{A} AA; A \bar{A} \bar{A}; \bar{A} A \bar{A}; \bar{A} \bar{A} A; \bar{A} \bar{A} \bar{A}\}

, kur

\bar{A}

ir notikuma $A$ pretējais notikums.

P (A) = \frac{5}{11}, P (\bar{A}) = \frac{6}{11}

$X = x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$\frac{6}{11} \cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{6}{11}$	$3 \cdot \frac{5}{11} \cdot \frac{6}{11} \cdot \frac{6}{11}$	$3 \cdot \frac{5}{11} \cdot \frac{5}{11} \cdot \frac{6}{11}$	$\frac{5}{11} \cdot \frac{5}{11} \cdot \frac{5}{11}$

Piemēram, vienai melnai bumbiņai (vērtība $1$) der trīs iznākumi

AA \bar{A}; A \bar{A} A; \bar{A} AA

- trešajā reizē ir melna vai otrajā reizē ir melna vai pirmajā reizē ir melna bumbiņa.

Pagaidām uzdevumu tālāk nerisināsim.

Aplūkosim varbūtības modeli, kuram ir spēkā šādi nosacījumi:

tiek izdarīti $n$ neatkarīgi mēģinājumi;
katra mēģinājuma rezultātā notikums $A$ iestāsies vai neiestāsies (citiem vārdiem, ir iespējami tikai divi mēģinājuma rezultāti – notikuma $A$ iestāšanās vai neiestāšanās);
notikuma $A$ iestāšanās varbūtība $p$ katrā mēģinājumā ir konstanta un nav atkarīga no mēģinājumu skaita.

Ja gadījuma lielums $X$ ir notikuma $A$ iestāšanās skaits $n$ neatkarīgos mēģinājumos un visi trīs iepriekšminētie nosacījumi izpildās, tad saka, ka gadījuma lielums $X$ ir sadalīts binomiāli ar parametriem $n$ un $p$.

Pārbaudām, vai mūsu piemērā izpildās binomiālā sadalījuma nosacījumi.

Notikums $A$ - "izņemtā bumbiņa ir melna".

Tiek izdarīti 3 neatkarīgi mēģinājumi ($n=3$).
Katra mēģinājuma rezultātā bumbiņa vai nu ir melna vai arī nav melna.
Varbūtība, ka izņem melnu bumbiņu, katrā mēģinājumā ir konstanta $p = \frac{5}{11}$ un nav atkarīga no mēģinājumu skaita (ievēro, ka bumbiņu vienmēr ieliek atpakaļ urnā).

Varam secināt, ka gadījuma lielums $X$ - melno bumbiņu skaits, ir sadalīts binomiāli ar parametriem $n=$$3$ un

p = \frac{5}{11}

Lai aprēķinātu varbūtību, ka notikums $A$ iestāsies $n$ mēģinājumos tieši $m$ reizes, var izmantot Bernulli formulu.

Bernulli formula

P (X = m) = C_{n}^{m} \cdot p^{m} \cdot q^{n - m}

Tā kā $q=1-p$, tad formulu var pierakstīt sekojoši:

P (X = m) = C_{n}^{m} \cdot p^{m} \cdot {(1 - p)}^{n - m}

, kur

C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n - m)!}

Aplūkosim vēlreiz piemēru par melnajām bumbiņām.

Tā kā mēs jau varbūtības esam noteikuši, pārbaudīsim, vai tās atbilst Bernulli formulai.

$X = x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	${C_{3}^{0} \cdot {(\frac{5}{11})}^{0} (\frac{6}{11})}^{3}$	${C_{3}^{1} \cdot {(\frac{5}{11})}^{1} (\frac{6}{11})}^{2}$	${C_{3}^{2} \cdot {(\frac{5}{11})}^{2} (\frac{6}{11})}^{1}$	${C_{3}^{3} \cdot {(\frac{5}{11})}^{3} (\frac{6}{11})}^{0}$

Redzam, ka varbūtību vērtības sakrīt. Atrisināsim uzdevumu līdz galam. Gadījuma lieluma $X$ sadalījuma likumu izsaka šāda tabula:

$X = x_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P (X = x_{i})$	$\frac{216}{1331}$	$\frac{540}{1331}$	$\frac{450}{1331}$	$\frac{125}{1331}$

Neaizmirstam pārbaudīt, vai

\sum_{i = 1}^{4} p_{i} = 1

\frac{216}{1331} + \frac{540}{1331} + \frac{450}{1331} + \frac{125}{1331} = \frac{1331}{1331} = 1

Ievēro!

Binomiālo sadalījumu var uzrādīt tabulas veidā. Šajā nolūkā tabulas pirmajā ailē uzrāda gadījuma lieluma $X$ visus $m$ variantus: $0$; $1$; $2$; …; $n-1$; $n$. Skaitlis $n$ ir neatkarīgo mēģinājumu skaits. Otrajā ailē uzrāda to varbūtības, kuras var aprēķināt ar Bernulli formulu vai arī izmantojot Ņūtona binomu (skat. nākamo teoriju).

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

https://mape.skola2030.lv/resources/9482

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

8. Binominālais sadalījums

Teorija